Сечение конуса данной плоскостью имеет вид равнобедренного треугольника АSВ, высота которого SН = 6 см (дано) наклонена под углом 45° к плоскости основания конуса (дано). => Прямоугольный треугольник SОН равнобедренный и SО = ОН. По Пифагору: SH² = 2·SO² или 36 = 2·SO² => SО = ОН = 3√2 см.
По теореме о трех перпендикулярах ОН перпендикулярна АВ => АН=НВ по свойству перпендикуляра к хорде из центра окружности. Треугольник АВО равнобедренный и ОН - высота, медиана и биссектриса угла АОВ = 60° (дано) => ∠AОН = 30°. => АО = 2·АН. По Пифагору А0² = АH²+OН² или З·АH² = OН² => З·АН² = 18, АН = √6, АО = 2√6 см. АО = R (радиус основания конуса). Тогда объем конуса равен V = (1/3)·Sо•Н или
Дано: - треугольная пирамида, - сторона основания а = 8 см, - угол при вершине боковой грани α = 90°.
Рассмотрим боковую грань. Это равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием а = 8 см и боковыми сторонами L. Острые углы равны 45 градусов. Высота этого треугольника - апофема А. Апофема А равна половине основания: А = 8/2 = 4 см. Боковое ребро L = 4√2 см. Проведём осевое сечение через боковое ребро. Получим треугольник, высота Н которого равна высоте пирамиды. Одна боковая сторона равна боковому ребру пирамиды, вторая - апофема. Проекция апофемы на основания для правильной пирамиды равна (1/3) высоты h основания пирамиды. h = a√3/2 = 8√3/2 = 4√3 см. Теперь можно определить высоту пирамиды. H = √(A² - (h/3)²) = √(16 - (48/9)) = √(96/9) = 4√6/3 см.
V = 24√2·π.
Объяснение:
Сечение конуса данной плоскостью имеет вид равнобедренного треугольника АSВ, высота которого SН = 6 см (дано) наклонена под углом 45° к плоскости основания конуса (дано). => Прямоугольный треугольник SОН равнобедренный и SО = ОН. По Пифагору: SH² = 2·SO² или 36 = 2·SO² => SО = ОН = 3√2 см.
По теореме о трех перпендикулярах ОН перпендикулярна АВ => АН=НВ по свойству перпендикуляра к хорде из центра окружности. Треугольник АВО равнобедренный и ОН - высота, медиана и биссектриса угла АОВ = 60° (дано) => ∠AОН = 30°. => АО = 2·АН. По Пифагору А0² = АH²+OН² или З·АH² = OН² => З·АН² = 18, АН = √6, АО = 2√6 см. АО = R (радиус основания конуса). Тогда объем конуса равен V = (1/3)·Sо•Н или
V = (1/3)·π·24·3√2 = 24√2·π.