На касательной к окружности с центром в точке O, проведенной через точку А отмечена точка B. Найдите радиус окружности и отрезок BO, если AB=9 см, ∠ABO=30°.
Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о треугольниках и о свойствах окружностей. Давай разберем эту задачу пошагово:
Шаг 1: Построим рисунок
Начнем с построения рисунка. Нарисуем окружность с центром в точке O и проведем касательную через точку A. Обозначим точку пересечения этой касательной с окружностью как B.
Шаг 2: Объяснение свойств
Наши неизвестные величины - радиус окружности и отрезок BO. Для того чтобы их найти, мы должны использовать известную информацию: AB = 9 см и ∠ABO = 30°.
Шаг 3: Найдем радиус окружности
Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что радиус окружности перпендикулярен касательной, проведенной к точке касания.
Таким образом, AO является радиусом окружности. Он перпендикулярен касательной, проведенной через А и имеет точку касания в точке B.
Также известно, что AB = 9 см. У нас есть прямоугольный треугольник ABO, в котором ∠ABO = 30°, а AB является гипотенузой.
Мы можем использовать соотношение гипотенузы и противолежащего катета прямоугольного треугольника для нахождения радиуса окружности.
Тангенс угла ∠ABO равен отношению противолежащего катета (AO) к прилежащему катету (BO).
Тангенс 30° = AO / BO
tg(30°) = AO / BO
1/√3 = AO / BO
AO = BO * 1/√3
Таким образом, радиус окружности равен BO * 1/√3.
Шаг 4: Найдем отрезок BO
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти отрезок BO в прямоугольном треугольнике ABO.
Шаг 1: Построим рисунок
Начнем с построения рисунка. Нарисуем окружность с центром в точке O и проведем касательную через точку A. Обозначим точку пересечения этой касательной с окружностью как B.
Шаг 2: Объяснение свойств
Наши неизвестные величины - радиус окружности и отрезок BO. Для того чтобы их найти, мы должны использовать известную информацию: AB = 9 см и ∠ABO = 30°.
Шаг 3: Найдем радиус окружности
Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что радиус окружности перпендикулярен касательной, проведенной к точке касания.
Таким образом, AO является радиусом окружности. Он перпендикулярен касательной, проведенной через А и имеет точку касания в точке B.
Также известно, что AB = 9 см. У нас есть прямоугольный треугольник ABO, в котором ∠ABO = 30°, а AB является гипотенузой.
Мы можем использовать соотношение гипотенузы и противолежащего катета прямоугольного треугольника для нахождения радиуса окружности.
Тангенс угла ∠ABO равен отношению противолежащего катета (AO) к прилежащему катету (BO).
Тангенс 30° = AO / BO
tg(30°) = AO / BO
1/√3 = AO / BO
AO = BO * 1/√3
Таким образом, радиус окружности равен BO * 1/√3.
Шаг 4: Найдем отрезок BO
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти отрезок BO в прямоугольном треугольнике ABO.
AB² = AO² + BO²
(9 см)² = (BO * 1/√3)² + BO²
81 см² = BO²/3 + BO²
81 см² = (1/3 + 1)BO²
81 см² = (4/3)BO²
BO² = (81 см² * 3/4)
BO² = 243 см² * 3/4
BO² = 182.25 см²
BO = √182.25 см
BO ≈ 13.51 см
Итак, радиус окружности равен BO * 1/√3, а отрезок BO - около 13.51 см