Позначимо центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, як O. Оскільки сторона AD є діаметром, то кут ADC = 90°. Також відомо, що кут ABC = 108°, тому кут ABO = 54° (так як AB є хордою, то відповідний кут - напівсума кутів, які він замінює). Аналогічно, кут OCB = 66°.
За теоремою косинусів, у трикутнику ABC ми можемо знайти кути BAC та BCA:
cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2AB * AC) = (AB^2 + AC^2 - AD^2) / (2AB * AC)
cos(BCA) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2BC * AC) = (BC^2 + AC^2 - AD^2) / (2BC * AC)
Оскільки ми не знаємо довжин окремих сторін чотирикутника ABCD, ми не можемо знайти косинуси цих кутів безпосередньо. Але ми можемо скористатися співвідношенням між синусами суми та різниці кутів:
sin(BAC - BCA) = sin(BAC) * cos(BCA) - cos(BAC) * sin(BCA)
Отже, знаючи косинуси кутів із формули косинусів, ми можемо отримати синус відповідної різниці кутів, яку можемо віднести до куту BAC:
sin(BAC) = sin(BAC - BCA) * cos(BCA) / cos(BCA - BAC)
Підставивши відомі значення, отримаємо:
sin(BAC) = sin(42°) * cos(66°) / cos(12°) ≈ 0.433
Значить, кут BAC ≈ 25°.
Кут CAD = 90° - кут ACD = 90° - 48° = 42° (так як кут ACD = (180° - кут BCD) / 2 = 48°).
Кут BDA = 360° - кут ABC - кут ADC - кут CAD = 360° - 108° - 90° - 42° = 120°.
Кут CAD = кут ADB = 42° (так як AD є діаметром кола і кут BDA = 120°, то кути ADC та ADB містять чотирьохкутник, що може бути вписаним в коло - як кут на дугу, так і як кут на півдугу, і тому вони дорівнюють напівсумі кутів на протилежних дугах).
Отже, ми знайшли всі кути чотирикутника ABCD:
BAC ≈ 25°,
BAD = ADC = 42°,
CAD = ABD = 90° - ADC = 48°,
BDA = 120°.
Объяснение:
Шоб не втыкал
Обозначим (начиная с нижнего левого острого угла) по часовой стрелке ABCD.
Тогда AD = 12 см и AB=8 см
Высоты из угла В - на AD - BE и на CD - BF
<EBF = 60
BE - высота, т. е. BE перпендикулярно AD, значит BD перпендикулярно и BC, т.к.
BC параллельно AD, следовательно, < CBE - прямой и <CBF =90 - <EBF =90-60 =30
BF - высота, она перпендикулярна CD, т.е. треугольник BFC - прямоугольный, значит
<BCF = 90 - <CBF = 90 -30 =60
Но <A = < C, значит <A =60 и можем найти высоту BE из треугольника AEB
BE=AB* cos <A
BE = 8*cos 60 = 8* корень(3)/2 = 4*корень(3)
площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту
S = AD*BE = 12*4*корень(3) = 48 * корень(3) кв. см
сорок восемь умножить на корень из трех