Question

Решите ! основание равнобедренного треугольника равно 18,2, косинус угла при вершине равен 21/29. две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. найти площадь прямоугольника, если известно, что одна его сторона вдвое больше другой.

Answer 1

1. Сторона прямоугольника, параллельная основанию a, пусть равна x*a. Тогда вторая сторона прямоугольника, параллельная высоте треугольника h, равна (1 - х)*h, а площадь прямоугольника равна Sp = a*h*x*(1-x) = 2*S*x*(1 -x) (где S - площадь треугольника).

Все эти простенькие соотношения автоматически следуют из того, что боковая сторона (пусть она равна b, в решении она не нужна) треугольника делится вершиной прмоугольника на отрезки (считая от вершины, противоположной основанию) b*x и, сответственно, b*(1-x). 

2. В условии задано, что отношение a*x и h*(1-x) равно 2, но не сказано, какая больше. Это означает, что h*(1 - x)/(a*x) = k; где к может принимать значения 2 или 1/2.

Отсюда легко получить x = 1/(k*a/h + 1);

если подставить это в выражение для площади  Sp = a*h*x*(1-x); получается

Sp = a^2*k/(k*a/h + 1)^2; 

3. В полученном выражении известно все, кроме h. Но в условии задан косинус угла при вершине (я обозначу его α). 

cos(α) = 21/29; отсюда sin(α) = 20/29; (тут - Пифагорова тройка 20,21,29)

Легко видеть, что (a/2)/h = tg(α/2) = sin(α)/(1 + cos(α)) = 2/5;

и выражение для площади прямоугольника принимает вид

Sp = a^2*k/(2*k*tg(α/2) + 1)^2; ну, вот он - ответ.

18,2^2 = 331,24; 2*tg(α/2) = 4/5;

при k = 2 

Sp = 331,24*2/(8/5 + 1)^2 = 98;

при к = 1/2

Sp = 331,24*(1/2)/(2/5 + 1)^2 = 84,5;