Question

ABCD - квадрат со стороной, равной α, BM ⊥ ABC, BM = α. Найдите двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD.

Answer 1

ABCD - квадрат со стороной, равной α, BM ⊥ ABC, BM = α. Найдите двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD.

Объяснение:

1) Пусть АР⊥MD,  соединим Р и С.

Т.к. АВ⊥AD, то по т. о трех перпендикулярах МА⊥AD⇒ΔAMD-прямоугольный. Т.к. ВС⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МС⊥CD ⇒ΔCMD-прямоугольный

2) Прямоугольные ΔAMD=ΔCMD по катету ( AD=CD стороны квадрата) и гипотенузе (MD--общая), значит и СР⊥MD, Поэтому ∠АРС-линейный угол двугранного , образованный гранями AMD и CMD.

3 ) Применим т. косинусов для ΔАРС :

АС²=АР²+РС²-2*АР*РС*cos∠APC. Найдем отрезки АС, АР, РС.

4) Из ΔАВС , АС²=2а² , АС=а√2.

Из ΔАВМ , АМ²=2а² , АМ=а√2.

Из ΔАМD , DM²=2а²+a² , DM²=3a²  ,DM=a√3 .

ΔADM подобен ΔPDA  по 2-м углам : ∠D-общий , ∠МАD=∠APD=90°, значит сходственные стороны пропорциональны  $\frac{AD}{DM} =\frac{AP}{AM}$ ,

АР=(AD*AM):DM=(а*а√2) :a√3=a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ .

ΔADP=ΔCDP как прямоугольные по катету и гипотенузе⇒РС=a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ .

4) "Закидываем " найденные значения в АС²=АР²+РС²-2*АР*РС*cos∠APC.

(а√2)²=2*(a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ )²-2*(a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ ) cos∠APC ,

2a²=2a² *$\frac{2}{3}$ -2a² * $\frac{2}{3}$ *cos∠APC ,

1=  $\frac{2}{3}$ (1 - cos∠APC) ,   cos∠APC= -0,5   ,∠APC=120° .