В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит <ABC=<ACB=(180-<BAC)/2=(180-80)/2=50° <АВМ=<АВС-<МВС=50-30=20° <АСМ=<АСВ-<МСВ=50-10=40° Рассмотрим треугольник ВМС: <ВМС=180-<МВС-<МСВ=180-30-10=140°. По теореме синусов МС/sin 30=BC/ sin 140 MC=BC*sin 30/sin 140=BC/2sin (180-40)=BC/2sin 40 Если в треугольнике АВС из вершины А опустить высоту АН на основание ВС, то она же будет и медиана и биссектриса. Из полученного треугольника АНС (<НАС=80/2=40°, <АНС=90°, НС=ВС/2) по теореме синусов НС/sin 40=АC/ sin 90 АC=BC/2sin 40 Получается, что МС=АС, значит треугольник АМС - равнобедренный <САМ=<АМС=(180-<ACM)/2=(180-40)/2=70°.
Высота опущенная на гипотенузу в прямоугольном треугольнике равна среднему геометрическому 2 сегментов гипотенузы. Пусть меньший сегмент гипотенузы равен n, по теореме Пифагора он равен H^2-a^2(где H - высота опущенная на гипотенузу, а а-меньший катет прямоугольного треугольника). В обоих треугольниках он равен тому выражению, следовательно меньшие сегменты 2 треугольников равны. Пусть больший сегмент равен k, из того что , высота равна среднему геометрическому 2 сегментов гипотенузы, следовательно он равен H/(Корень квадратный из (a)). Т. к в двух треугольниках высота и сторона катета равны , то большие сегменты гипотенузы тоже равны , а т.к большие и малые сегменты 2 треугольников равны, то и их гипотенузы тоже равны, по признаку равенства прямоугольных треугольников, если катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого треугольника,то такие треугольники равны.
