Question

Прямая MB перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, MD_|_AC. Докажите, что четырёхугольник ABCD – ромб

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Для начала вспомним некоторые свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая является серединой каждой диагонали.
4. Если прямая перпендикулярна одной из сторон параллелограмма и проходит через середину этой стороны, то она перпендикулярна плоскости параллелограмма.

Теперь приступим к решению задачи.

У нас дан прямоугольник ABCD и прямая MB, которая перпендикулярна плоскости параллелограмма и параллельна стороне AD.

Поскольку MD _|_ AC, то угол DM^AC=90°.

Посмотрим на треугольник DMF, где F - точка пересечения прямых MB и AD.
Так как прямая MB параллельна стороне AD параллелограмма, то треугольник DMF является прямоугольным.
Угол DFM=90°, DM _|_ AF.

Теперь рассмотрим треугольник DAF.
У нас есть 2 прямых угла - это угол DNC (поскольку прямые MB и AC пересекаются в точке M, то угол DNC является наполовину прямым) и угол DFM, который также равен 90°.
Таким образом, у треугольника DAF все углы равны между собой и равны 90°.
То есть треугольник DAF является прямоугольным.

Теперь обратим внимание на треугольник DAF и прямоугольник ABCD.
Поскольку у этих фигур есть общая сторона DA, а также у них по 2 равные углы, то по свойству 2 параллелограмма, они могут быть построены друг на друге.

Таким образом, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD - ромб.