Найти сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
Объяснение:
S(бок)=1/2Р(осн)*d , где d-апофема.
Пусть сторона основания а ,а>0, тогда Р(осн)=3а.
Пусть АН⊥ВС, тогда МН⊥ВС по т. о трех перпендикулярах ⇒СМН-прямоугольный .По т. Пифагора. Выразим апофему МН.
МН=√( СМ²-НС²)==√( 100-а²/4)=0,5√(400-а²).
"Закинем" все в формулу S(бок)=1/2Р(осн)*d :
144=0,5*3а*0,5√(400-а²),
а*√(400-а²)=192 ,возведем обе части в квадрат,
а²*(400-а²)=192² ,
(а²)²-400а+192²=0. Пусть а²=х, тогда
х²-400х+192²=0 , D=12544=112² , х₁=256 , х₂=144.. Значит
а²=256 , а²=144. По условию а>0, значит
а=16 , а=12
Если сторона основания 16 , то апофема 0,5√(400-16²)=6 (см)
Если сторона основания 12 , то апофема 0,5√(400-12²)=8 (см)
Шар вписан в конус.
Осевое сечение конуса - правильный △АВР.
АР = РВ = АВ = 3 см
Найти:S поверхности шара - ?
Решение:Так как △АВР - правильный ⇒ он ещё и равнобедренный.
РО₁ - высота.
"Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и биссектрисой".
⇒ АО₁ = О₁В = 3/2 = 1,5 см, так как РО₁ - медиана.
Найдём высоту РО₁, по теореме Пифагора: (с = √(а² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты).
а = √(c² - b²) = √(3² - 1,5²) = (3√3)/2 (см).
Итак РО₁ = (3√3)/2 (см).
АО₁ = 1,5 (см).
РО₁ = 3√3/2 (см).
⇒ S△ABP = 1/2 · PO1 · AB = PO1 · AO1 = 1,5 · 3√3/2 = 9√3/4 (см²).
АР = РВ = АВ = 3 (cм).
p - полупериметр.
р = АР + РВ + АВ/2 = 3 + 3 + 3/2 = 4,5 (см).
R вписанного шара (ОО1) = S△ABP/p = 9√3/4 : 4,5 = √3/2 (см).
S поверхности шара = 4пR².
или
S поверхности шара = пD².
D = 2R
S поверхности шара = п(4 · (√3/2)²) = п(3/4 · 4) = 3п см²
S поверхности = п(√3/2 · 2)² = п((√3)²) = 3п см²
ответ: 3п (см²).