Я решил сохранить эту задачу. а) EFGH и FMHN - параллелограммы. У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD; То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2; У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD . У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения. У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а)) Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата. (Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить). То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α; Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними. С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);
Сделаем рисунок. Пусть перпендикуляр из В будет ВМ, из С - СН Перпендикуляры к одной прямой параллельны, следовательно, ВМ и СН - параллельны. ВF и ЕС при них секущие, и ∠ FBE=∠CFB ( на рисунке это углы ∠ 1=∠2), и FCE=BEC (∠ 3=∠ 4 рисунка) как накрестлежащие. Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ. Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий угол DBM (∠ 1 рисунка). Следовательно, и их вторые острые углы равны. ∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ Угол ВСА и угол ВDА (∠ 6 и ∠ 5) вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. Следовательно, они равны (∠6 = ∠ 5). Угол ВDМ совпадает с углом ВDА и равен ВЕС (∠ 5 = ∠3 доказано выше). ⇒ ∠BDМ=∠ACH (∠5=∠ 4=∠3) .Т.к. угол ВСА=BDA, то угол ЕСB=ECF (∠5=∠ 6=∠ 4). Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны. Отсюда следует равенство вторых острых углов: Угол САН=углу СFO (∠ 7 = ∠2). Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу CD, что вписанный СBD (∠ 8 ) треугольника СВD, следовательно, угол СAH=углу СBF (∠7 = ∠8). Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒ ∠1=∠ 8. ⇒∠ 8=∠2 В Δ ВСF углы при основании ВF равны, СО ⊥ BF и делит ∠ ВСF на два равныхи является биссектрисой и высотой Δ ВСF. Следовательно, Δ ВСF - равнобедренный. Но ЕО в треугольнике ВЕF - также высота и медиана, и ВО=ОF. Этот треугольник также равнобедренный. ∠ 9=∠2=∠1, а ∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство ЕF=ВС=1 ( Даны 2 рисунка - один с решением, другой - без) ------------ [email protected]
а) EFGH и FMHN - параллелограммы.
У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD;
То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2;
У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD .
У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения.
У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а))
Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата.
(Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить).
То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α;
Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними.
С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);