Для розв'язання задачі використаємо теорему Піфагора та співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.
Позначимо BC = a, AB = b, AC = c.
За теоремою Піфагора для трикутника ABC маємо:
c² = a² + b²
Розділимо обидві частини на c²:
1 + (b/a)² = (c/a)²
Оскільки AN:AC = 1:3, то AN = c/4, а NC = 3c/4.
Також маємо BM = b - MN та CM = a - MN.
За теоремою Піфагора для трикутників ABM та BCM маємо:
(b - MN)² + (c/4)² = b²
(a - MN)² + (3c/4)² = a²
Розв'язавши цю систему рівнянь, знаходимо:
a = 4MN + 10
b = 3MN
c = 5MN + 10
Підставляючи ці значення в рівняння для теореми Піфагора, маємо:
(5MN + 10)² = (4MN + 10)² + (3MN)²
Розв'язуючи це рівняння, отримуємо:
25MN² + 100MN + 100 = 16MN² + 80MN + 100 + 9MN²
Редагуючи, маємо:
0 = MN² - 20MN
MN(MN - 20) = 0
Отже, MN = 20 (інакше було б негативне значення, що не може бути довжиною сторони).
Підставляючи MN = 20 в формули для a, b, c, маємо:
a = 90
b = 60
c = 110
Отже, ВС = a = 90 см
Щоб знайти радіус кола, описаного навколо правильного дев'ятикутника, можна скористатися формулою:
r = a/ (2 sin(π/n))
де a - довжина сторони дев'ятикутника, n - кількість сторін дев'ятикутника, r - радіус кола, описаного навколо дев'ятикутника.
У даному випадку, довжина сторони дев'ятикутника дорівнює 8 см, і кількість сторін дев'ятикутника дорівнює 9, оскільки дев'ятикутник є правильним. Тоді ми можемо підставити відповідні значення до формули і отримати:
r = 8 / (2 sin(π/9))
Значення sin(π/9) можна знайти, використовуючи тригонометричні таблиці або калькулятор з функцією sin. Підставляючи числове значення, ми отримуємо:
r = 8 / (2 sin(π/9)) ≈ 8 / 1.93 ≈ 4.14
Отже, радіус кола, описаного навколо правильного дев'ятикутника сторона якого дорівнює 8 см, приблизно дорівнює 4.14 см (округлено до двох знаків після коми).