Вправильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 4. n - середина отрезка ac. найдите расстояние от вершины a до плоскости na1d.
(*** некоторые результаты, вроде того, что угол CAD= 30°; - я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).
Начало координат в точке А, ось X вдоль AD, ось Y в плоскости основания перпендикулярно AD, ось Z - вдоль АА1. Еще я обозначу R = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). Кроме того, пусть К - проекция точки N на AD.
Плоскость NA1D пересекает ось Х в точке (4, 0, 0) и ось Z в точке (0, 0, 4).
Кроме этого, она проходит через точку N.
Координаты точки N (Nx, Ny, 0); Ny = NK равно половине высоты трапеции ABCD,
то есть Ny = (R*√3/2)/2 = √3/2; отсюда Nx = АК = 3/2; (потому что угол CAD равен 30°;)
Чтобы построить уравнение плоскости NA1D, лучше всего найти координаты точки Q (0, q, 0), в которой прямая DN пересекает ось Y. Это проще, чем высчитывать определитель, задающий уравнение плоскости через координаты точек A1, D и N.
Треугольники QAD и NKD подобны, поэтому
AQ/AD = NK/KD; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;
То есть координаты точки Q (0, 4√3/5, 0);
Уравнение плоскости A1QD ( она же - плоскость NA1D) теперь записывается автоматически
x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;
(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость).
Это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1;
r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от А до точки плоскости).
p = (1/4, 5/4√3, 1/4);
Теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна?".
В такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).
В этом случае rp=1; (абсолютные величины!) и r = 1/p;
То есть для получения ответа осталось вычислить p = IpI;
p = √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) = √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.
Это полезная задача. Я, правда, делал её тут раз 100. По сути, достаточно найти площадь, есть формула Герона, по ней все считается. p = (13 + 14 + 15)/2 = 21; p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6; S^2 = 21*8*7*6 = 7^2*6^2*4 = 84^2; S = 84; Отсюда по известным формулам R = 13*14*15/(4*84) = 65/8; r = 84/21 = 4;
Это такой метод "для тупых". Такие решения ждут от вас ваши учителя. Можно переписать в тетрадку и забыть. Но есть и которым площадь S находится устно. Достаточно сообразить, что если взять два прямоугольных треугольника со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), то из них можно составить треугольник, заданный в задаче (а как? :)) Поэтому СРАЗУ ЯСНО, что высота к стороне 14 равна 12, и площадь S = 14*12/2 = 84; устная задача. Еще одна вещь полезная - поскольку треугольник "ПОЧТИ РАВНОСТОРОННИЙ", 2r = 8 "очень мало" отличается от R. Всего на 1/8; это хороший контроля за ошибками (R/2r = 1,015625, то есть всего на 1,5% отличается от 1). Если бы получилось, что 2r и R сильно различаются, то самое время было бы искать арифметические ошибки.
Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности. площадь основания можно вычислить по формуле герона: s=√(p(p-a)(p-b)(p- где р=(a+b+c)/2. подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим s=84 см. радиус вписанной окружности: r=s/p=2s/(a+b+c). r=2·84/(13+14+15)=4 см. высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника. в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме пифагора равна: h=√(l²-r²), где l- апофема пирамиды (равна радиусу шара). h=√(5²-4²)=3 см - это ответ.
Координатный метод.
(*** некоторые результаты, вроде того, что угол CAD= 30°; - я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).
Начало координат в точке А, ось X вдоль AD, ось Y в плоскости основания перпендикулярно AD, ось Z - вдоль АА1. Еще я обозначу R = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). Кроме того, пусть К - проекция точки N на AD.
Плоскость NA1D пересекает ось Х в точке (4, 0, 0) и ось Z в точке (0, 0, 4).
Кроме этого, она проходит через точку N.
Координаты точки N (Nx, Ny, 0); Ny = NK равно половине высоты трапеции ABCD,
то есть Ny = (R*√3/2)/2 = √3/2; отсюда Nx = АК = 3/2; (потому что угол CAD равен 30°;)
Чтобы построить уравнение плоскости NA1D, лучше всего найти координаты точки Q (0, q, 0), в которой прямая DN пересекает ось Y. Это проще, чем высчитывать определитель, задающий уравнение плоскости через координаты точек A1, D и N.
Треугольники QAD и NKD подобны, поэтому
AQ/AD = NK/KD; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;
То есть координаты точки Q (0, 4√3/5, 0);
Уравнение плоскости A1QD ( она же - плоскость NA1D) теперь записывается автоматически
x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;
(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость).
Это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1;
r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от А до точки плоскости).
p = (1/4, 5/4√3, 1/4);
Теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна?".
В такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).
В этом случае rp=1; (абсолютные величины!) и r = 1/p;
То есть для получения ответа осталось вычислить p = IpI;
p = √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) = √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.
проверяйте, может я в числах где ошибся.