Задачка из ОГЭ
Объяснение:
Запомните, молодой человек, покоряющий будущее - радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Вследствие сего изумительного факта, углы ОАР и ОВР равны 90 градусов.
Второй примечательный факт, не отраженный в юридической литературе тот, что сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
неимоверным усилием мысли титаны, на плечах которых стоим мы, не титаны, приходят к выводу, что раз эти два угла в сумме дают 180 градусов, то для углов О и Р остается тоже 180 тех же самых, благословенных во веках градусов не путайте градусы!).
Ну а раз так, то вопреки мнению бабы-яги угол Р=180-105=75 градусов, да будут они будут они незабвенны в народах малых и больших!
Длина L бокового ребра пирамиды равна:L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.
б) Площадь боковой поверхности.Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды:(d/2) = H = 6 см.Сторона а основания (это квадрат) равна:а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см.Периметр основания Р = 4а = 24√2 см.Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см.Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².
в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой, т.е. делит основание на две равные части. В каждой из них по 24/2 = 12 см.
Боковая сторона этого треугольника находится из теоремы Пифагора:
Квадрат боковой стороны равен 12^2 + 9^2 = 144+81 = 225, значит, боковая сторона треугольника равна 15.
Произведение всех его сторон равно 15*15*24 = 5400
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, т.е. 9*24/2 = 108.
Радиус описанной окружности равен отношению произведения всех сторон к четырем площадям, т.е. 5400/(4*108) = 12,5 см.
Чтобы найти радиус вписанной в треугольник окружности, нужно вспомнить теорему о равенстве отрезков касательных, проведенных из одной точки. Боковая сторона делится точкой касания в отношении 1:4, следовательно, центр вписанной окружности будет делить высоту в отношении 5/4, считая от вершины.
Радиус вписанной окружности равен 4.
ответ: R = 12,5 см; r = 4 см