PΔ=36, треугольник правильный, значит сторона треугольника равна : 36:3=12. Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°. Вычислим диаметр окружности: d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3. Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а. По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)². 2a²=64·3, a²=32·3=16·2·3, a=√16·6=4√6. a=4√6.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, — например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника[2]. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.
Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.
Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор (годами жизни которого принято считать 570—490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл писал между 410 и 485 гг. н. э. Томас Литтл Хит (en:Thomas Little Heath) считал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.[3] Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.[4][5] «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».[6] По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].
Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8]
cos A = в/с, где а- катет прилежащий к углу А , с- гипотенуза. cos A =АС/АВ = 4/5