Найдите площади боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 4 см и боковым ребром 6 см.
Объяснение:
АВСМ-правильная треугольная пирамида, АВС-основание, МА=6см, АС=4 см.
1)S(полн.пр.пир.)=S(осн)+S(бок) ;
S(бок)=1/2*Р(осн)*а, а-апофема,
S(осн)=S(прав. треуг)=(а²√3)/4.
2) S(осн)=(4²√3)/4= 4√3 (см²) ;
3)Пусть ВК⊥АС, тогда ВК-медиана ,т.к треугольник правильный ⇒
АК=2 см.
Т.к. ВК⊥АС, то МК⊥АС по т. о трех перпендикулярах (МО-высота прирамиды). Тогда ΔАМК-прямоугольный, по т. Пифагора
МК=√(АМ²-АК²) , МК=√(36-4)=√32=4√2 (см).
4) Р( осн.)=4*3=12(см) ,
S(бок)=1/2*12*4√2=24√2 (см²)
5)S(полн.пр.пир.)=4√3+24√2 (см²)
k нужно найти из отношения площадей.
Условие, что окружности касаются, означает, что
k*D - D = R + k*R; то есть R/D = (k* - 1)/(k + 1);
легко видеть, что R/D это синус половины угла, который надо найти, так как центры окружности лежат на биссектрисе.
Что касается величины к, то её нетрудно подобрать, k^2 = 97 + 56√3;
Легко видеть, что k^2 = 49 + 2*7*4√3 + 48 = (7 + 4√3)^2;
то есть k = 7 + 4√3; технически задача уже решена.
sin(α/2) = (7 + 4√3 - 1)/(7 + 4√3 +1) = √3/2; все преобразования сделайте сами. То есть α/2 = 60°; α = 120°;