В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат ABCD с площадью 36 см2 (рис. 270). Периметр треугольника DD1C равен 24 см. Диагональ A1D грани AA1D1D равна 10 см. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. (7 класс)
Добрый день!
Для решения задачи, нам нужно найти площадь поверхности параллелепипеда. Для этого выделим все грани параллелепипеда и найдем их площади, а затем сложим эти площади.
1. Начнем с основания параллелепипеда, которое является квадратом ABCD. У нас уже есть информация, что его площадь равна 36 см².
2. Теперь у нас есть треугольник DD₁C, у которого известен периметр и одна из его диагоналей. Для нахождения площади этого треугольника, нам нужно знать длину его основания и высоту.
a. Периметр треугольника равен 24 см. Периметр это сумма длин всех сторон треугольника. Из условия задачи, мы знаем, что сторона DC равна стороне AB, которая, в свою очередь, является стороной квадрата ABCD. Таким образом, периметр треугольника можно представить как 4 * длина стороны DC.
b. Выразим длину стороны DC через сторону квадрата ABCD. Пусть сторона квадрата ABCD равна а. Тогда периметр треугольника можно записать как 4 * a = 24 см.
c. Решая это уравнение, мы находим, что длина стороны квадрата равна a = 6 см.
d. Теперь, когда у нас есть длина стороны квадрата ABCD, мы можем найти "высоту" треугольника DD₁С. Высота это отрезок, опущенный из вершины DD₁ на основание СС₁. Мы можем найти эту высоту с помощью теоремы Пифагора или применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АА₁D.
e. У нас есть гипотенуза AD₁ = 10 см и один катет АА₁ = а/√2 = 6/√2 (так как сторона квадрата ABCD равна а = 6 см).
f. По теореме Пифагора находим второй катет: √(AD₁² - АА₁²) = √(10² - (6/√2)²) = √(100 - 36/2) = √(100 - 18) = √82.
g. Получили высоту треугольника DD₁C равную √82 см.
h. Теперь, когда у нас есть основание треугольника DD₁C равное 24 см и высота √82 см, мы можем найти его площадь S DD₁C = (основание * высота) / 2 = (24 * √82) / 2 = 12√82 см².
3. Посчитаем площадь боковых граней параллелепипеда. На параллелепипеде есть 4 боковые грани, и они являются прямоугольниками. Длина каждой боковой грани равна стороне AB квадрата ABCD, то есть 6 см. Ширина каждой боковой грани равна высоте треугольника DD₁C, то есть √82 см. Таким образом, площадь каждой боковой грани равна (длина * ширина) = 6 * √82 = 6√82 см².
4. Теперь, чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, мы должны сложить площади всех его граней. Площадь поверхности S параллелепипеда = 2 * (площадь основания + площадь боковой грани) = 2 * (36 + 12√82 + 6√82) = 2 * (36 + 18√82) = 72 + 36√82 см².
Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна 72 + 36√82 см².
