Обозначим прямоугольник ABCD и точку пересечения диагоналей O как
B C
E O
A D
Треугольник AOB равнобедренный, поэтому высота OE является и медианой. Тогда, так как AB=14, AE=7. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AEO находим AO^2=EO^2+AE^2=49+36=85. AO=sqrt(85). Тогда AC=2sqrt(85) и AC^2=4*85=340. Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора BC^2=AC^2-AB^2=340-196=144. Значит BC=12. Тогда площадь прямоугольника равна AB*BC=14*12=168.
ответ:168.
по условию нам известно что диагональ некаого ромба является биссектрисой одной из его углов. По определению мы знаем, что биссектриса делет угол пополам. Так угол образованной биссектрисой равняется 25 градусам, то следовательно мы можем сделать вывод что угол A= 25+25= 50 градусам. так как ром является четырёхугольником, то противолежащие стороны и углы его будут равны, следовательно. что угол A = углу B = 50 градусам ( где угол B является противоположным углом A) Зная, что горизонтальная диагональ ромба делит его на два равных равнобедренны треугольника мы сможем найти 1/2 от некого угла , применив теоремы о сумме углов: сумма углов треугольника равен 180 градусам и углы при основании равнобедренного треугольника: углы при основаниии равнобедренного треугольника равны. так как мы знаем верхний угол равнобедренного треугольника найдём градусные меры углов при его основании : 1) 180-50=130 2) 130 :2= 65 градусов. Так как горизонтальная диагональ ромба делит себя на два равных равнобедренных треугольника, то : 65+65= 130
ответ : 50, 50, 130, 130
1. Точка Р, лежащая на оси Ох, имеет координаты (х; 0; 0).
Приравняем длины отрезков РА и РВ.
(1 – х)² + 3² + 2² = (-2 – х)² + 1² + 4²,
1 – 2х + х²+ 9 + 4 = 4 + 4х + х²+ 1 + 16,
6х = -7, х = -7/6.
ответ: точка Р((-7/6); 0; 0).
2. Вектор АВ = (3; 1; -2), вектор CD = ((x + 1); (y – 2); (z – 4)).
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
(x+1)/3=(y-2)/1=(z-4)/(-2).
Отсюда видим, если переменные принять равными:
x = -1, y = 2, z = 4, то пропорции будут равны 0, то равными.
ответ: D(-1; 2; 4).
3. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Находим длины противоположных сторон.
Расстояние между точками: d = √((х2 - х1)² + (у2 - у1)² + (z2 – z1)²).
Подставив координаты точек, получаем:
Вектор АВ (-1; -3; -1), модуль равен √((-1)² + (-3)² + (-1)²) = √11.
Вектор CD (1; 3; 1), модуль равен √(1² + 3² + 1²) = √11.
Вектор ВC (-9; -1; 5), модуль равен √((-9)² + (-1)² + 5²) = √107.
Вектор АD (-9; -1; 5), модуль равен √(-9)² + (-1)² + 5²) = √107..
Равенство доказано: ABCD – параллелограмм.
4. Если у четырёхугольника все его стороны равны, то этот четырёхугольник есть ромб.
Точки А (2; 1; 2), В (4; -4; 0), С (0; -3; -4) - вершины ромба АВСD.
Вектор ВА равен СD.
Находим ВА = ((2-4); (1-(-4)); (2-0)) = (-2; 5; 2)
Отсюда находим координаты точки D.
х(D) = х(С) + (-2)= 0 - 2 = -2,
у(D) = уС) + 5 = -3 + 5 = 2.
z(D) = z(C) + 2 = -4 + 2 = -2
ответ: D(-2; 2; -2).
5. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
Определяем неизвестную координату вектора b. По заданию |b| = 3.
2² + n² + 1² = 3².
n² = 9 – 1 – 4 = 4. Получаем 2 значения координаты у вектора b.
n = +-2.
Получаем 2 скалярных произведения векторов.
1) n = +2. 3*2 + (-1)*2 + m*1 = 0, m = 2 – 6 = -4.
2) n = -2. 3*2 + (-1)*(-2) + m*1 = 0, m = -2 – 6 = -8.
ответ: n1 = 2, m1 = -4,
n2 = -2, m2 = -8.