Начертите параллелограмм ABCD. На стороне AB отметьте точку K. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника DKC равна 40 квадратных сантиметров.
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD
AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD
CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG
четыр-ник ECFG - параллелограмм
CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGFЗначит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG
ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника
Поэтому CF=CM
Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P
ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам
DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DGЗначит, CM=MP, CD=PG
Рассмотрим ΔСPF: CF=CM=MP, PG=2*FG
FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2
Известное свойство биссектрисы:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
Это свойство работает и в обратную сторону.
Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.