сделаем построение по условию
на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)
r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус
r=3√2-3
треугольник АВС –равнобедренный, прямоугольный <ABC=90 град
<A=<C=45 град
BC1 - высота,биссектриса,медиана
<B1BO=<ABC1=90/2=45
OB1=r -перпендикуляр в точке касания
OС1=r -перпендикуляр в точке касания
треугольник B1BO –равнобедренный, прямоугольный < BB1O =90 град
BO=B1O / sin<B1BO =r / sin45 =(3√2-3) / 1/√2 =6-3√2
BC1=BO+OC1=6-3√2 +r =6-3√2 +3√2-3=3 - это высота пирамиды
треугольник ABC1 –равнобедренный, прямоугольный <AC1B =90 град
<A=<ABC1=45 град
AC1=BC1=3
AC1– это радиус основания
Площадь основания So= pi*AC1^2 = pi*3^2=9pi
Объем конуса V=1/3 *BC1 *So=1/3 *3 *9pi = 9pi =9п
ответ 9п
Благодарю за интересную задачу!)
Осевое сечение – прямоугольный равнобедренный треугольник. Радиус вписанной в него окружности по условию равен (3√2 – 3).
Тогда катеты этого треугольника (образующие конуса) равны 6*(√2-1)/(2 - √2).
Гипотенуза этого треугольника (диаметр основания конуса) равна (12 - 6√2)/(2 - √2),
Радиус основания конуса равен половине гипотенузы, т.е. (6-3√2)/(2-√2).
Высота, выведенная из прямого угла (высота конуса) равна (6√2-6)/(2√2-2).
И, наконец, объем конуса равен 1/3*π*(6√2-6)/(2√2-2)* (6-3√2)²/(2-√2)² = 9π.
ответ: 9π