Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. V = So*h. В нашем случае площадь основания - это площадь прямоугольного треугольника So=(1/2)*a*b, где а и b - катеты. Для начала найдем гипотенузу "с" основания и высоту призмы "h" из прямоугольного треугольника, образованного диагональю большей боковой грани "d" (как гипотенуза): так как Sinβ =c/d, a Cosβ=h/d, то
с=d*Sinβ, h=d*Cosβ.
В прямоугольном треугольнике (основание призмы) Sinα=b/c, Cosα=a/c. Отсюда катеты равны
b=c*Sinα = d*Sinβ*Sinα и a=c*Cosα=d*Sinβ*Cosα.
Тогда So=(1/2)*dSinβ*Cosα*dSinβ*Sinα =(1/2)*d²Sin²β*Sinα*Cosα.
V=So*h = (1/2)*d²Sin²β*Sinα*Cosα*d*Cosβ = (1/2)*d³Sin²β*Cosβ*Sinα*Cosα.
Соединим центр окружности О с точками А и В. Тогда АО = ВО = R (радиус окр.) Угол АРО = х, а угол ВРО - 180 - х
По теореме косинусов
в тр-ке АОР имеем R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx. (1)
в тр-ке ВОР имеем R^2 = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx. (2)
Приравниваем правые части выражений (1) и (2)
12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx
12^2 - 6^2 = 12*7*3cos x/
7cos x = 3
cos x = 3/7
Из выражения (1) имеем
R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7* 3/7
R^2 = 121
R = 11