Question

Из вершины В квадрата ABCD проведён перпендикуляр BF к плоскости этого квадрата. Докажите, что АС ⊥ DF.(желательно с рисунком)​

Answer 1

Для доказательства перпендикулярности всех нужных отрезков, воспользуемся основным свойством перпендикулярных линий, которое гласит: если две линии перпендикулярны к третьей, то они взаимно перпендикулярны между собой.

Для начала нарисуем квадрат ABCD и вершину В.

```
D ------------ C
| |
| |
| |
| |
A ------------ B
```

Теперь проведем перпендикуляр BF к плоскости квадрата так, чтобы он проходил через вершину В. Рисуем отрезок BF.

```
D ------------ C
| |
| |
| F |
| | |
A--B-----------B
```

Для доказательства, что отрезок AC перпендикулярен отрезку DF, нам необходимо доказать, что эти два отрезка взаимно перпендикулярны к BF.

Для этого нам понадобятся еще два факта:

1. Основное свойство прямоугольных треугольников: в прямоугольном треугольнике гипотенуза (самая длинная сторона) перпендикулярна к обоим катетам (остальным двум сторонам).
2. Основное свойство квадратов: в квадрате все стороны равны и все углы прямые.

Пример двух направленных прямых AB и CD, перпендикулярных третьей прямой EF:
```
F ---------------
| |
B C
| |
D ---------------
```
Также стоит отметить, что у прямых AB и CD, перпендикулярных EF, угол между ними может быть 90 градусов (прямым) или 270 градусов (тупым).

Теперь возвращаемся к нашей задаче.

Докажем, что треугольник ACF - прямоугольный. Мы знаем, что у квадрата ABCD все стороны равны и все углы прямые. Поэтому AC - это диагональ квадрата ABCD, а значит, она делит квадрат на два прямоугольных треугольника: ACF и CBD. Используя уже упомянутое свойство прямоугольных треугольников, мы можем утверждать, что угол CAF = 90 градусов.

Теперь предположим, что отрезки AC и DF не перпендикулярны. Это означает, что они образуют угол, который не является 90 или 270 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник FBD:

```
F ---------------
| |
| A - C
| |
D ---------------
```
Если мы предположим, что угол FBD не является 90 или 270 градусов, то этот треугольник будет непрямоугольным.

Так как треугольник FBD непрямоугольный, то у него существует угол, который не является 90 или 270 градусов. Пусть этот угол будет AFB.

Теперь мы имеем два треугольника: треугольник FBD и треугольник ACF. Оба этих треугольника имеют углы, которые не являются 90 или 270 градусов. Но это противоречит тому факту, что треугольник ACF является прямоугольным, так как у него угол CAF = 90 градусов. Поэтому наше предположение о том, что отрезки AC и DF не перпендикулярны, неверно.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AC и DF перпендикулярны друг другу, что и требовалось доказать.