Question

Решите Дан тетраэдр ABCD, ребра которого равны 1
Найти угол между плоскостями ABC и CDB

Answer 1

Проведем высоту из точки A в ΔABC и высоту из точки D в треугольнике CDB. Эти две высоты падают на одну точку, пусть на точку H. По определению,  ∠AHD это и есть угол между плоскостями ABC и CDB.

В ΔAHD, AD = 1.

AH = DH = √(AB² - (0.5BC)²) = √(1² - 0.5²) = √(3/4) = √3 / 2

По теореме косинусов:

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 * \frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} * cos\angle AHD\\\\1 = \frac{6}{4} - \frac{3}{2}cos\angle AHD\\\\\frac{3}{2}cos\angle AHD = \frac{6}{4} - 1\\\\\frac{3}{2}cos\angle AHD = \frac{1}{2}\\\\cos\angle AHD = \frac{1}{3}$

∠AHD = arccos(1/3)

ответ: arccos(1/3)