1
теорема косинусов
а)
вс^2=ab^2+ac^2 - 2*ab*ac*cosa=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97
bc=√97 см
б)
ac^2=ab^2+bc^2 - 2*ab*bc*cosb=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127
ас=√127 см
2
теорема косинусов
а)
cos120= - cos60
np^2=mn^2+mp^2 -2 mn*mp*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=
=49+225-2*7*15*(-1/2)=379
np=√379 см
б)
np^2=
3
cos120= - cos60
а) меньшую диагональ (вd)
лежит напротив острого угла < 60
bd^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52
bd=√52=2√13 см
б) большую диагональ (ас)
лежит напротив тупого угла < 120
ac^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148
ac=√148=2√37 см
4
а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;
14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos< a
196=64+100 - 160*cos< a
32= - 160*cos< a
cos< a= - 32/160 =-1/5= -0.2
б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.
20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos< b
400=144+196-336* cos< b
60 =-336* cos< b
cos< b = - 60/336 = - 5/28
5
диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник
значит третий угол треугольника < a=180-20-60=100 град
дальше по теореме синусов
a/sin20=b/sin60=d/sina=25/sin100
a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см
b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см
6
угол < с=180-< a-< b=180-30-40=110
по теореме синусов
ac/sin< b=bc/sin< a=ab/sin< c=2r
ac/sin40=bc/sin30=16/sin110
ac=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см
bc= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см
радиус описанной окружности
ab/sin< c=2r
r= ab/(2*sin< c)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см
7
8
углы параллелограмма а и в - односторонние
< a - напротив диагонали d1
< b=180-< a - напротив диагонали d2
cosa= - cosb=
d1^2=a^2+b^2-2ab*cosa
d2^2= a^2+b^2-2ab*cosb = a^2+b^2-2ab*(-cosa)= a^2+b^2+2ab*cosa
d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosa + a^2+b^2 +2ab*cosa = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2 )
доказано сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (четырех)сторон
9
10
11
12
13
21. Дано: прямые MN, и AB.
Доказать, что MN || AB.
AC == CB, что и означает, что <А == <B = 65^o.
Чтобы найти <M, составим формулу: 65+65+115+x = 360^o(так как сумма углов трапеции равна 360 градусам).
130+115+x = 360^o
245+x = 360^o
x = 360-245 => x = 115^o.
Тоесть: <M == <N = 115^o, что и означает, что AM у NB равны друг другу, что и означает, что трапеция равносторонняя.
<CMN = 180-115 => <CMN = 65^o, а это 2-ой признак параллельности прямых, так как соответствующие углы равны друг другу.
Вот и доказали.
26. Дано: ST, MQ
Доказать: ST || MQ
<M = 90^o
MT == TQ == PT => <TMQ = 90/2 = 45^o
MT == TQ => <TMQ == <TQM = 45^o
180-(45+45) = 90^o => <C = 90^o
<C = 90^o => 360-(<C+<M+<Q) => 135-<T = 45^o => <PTS = 45^o.
<PTS и <TMQ — это поперечные углы, и так как они равны друг другу, то по 1-ому признаку параллельных углов, ST || MQ.
22.
Дано: MK, NP
Доказать: MK || NP
MK == KN => <M == <KNM = 60^o => <K = 180-(60+60) = 60^o (что и означает, что треугольник MKN - равносторонний).
Доказать не могу, но <PNE == <KNM => <PNK = 180-(60+60) = 60^o.
И так как поперечные углы, тоесть <PNK и <K — равны друг другу, то по 1-ому признаку параллельности прямых, стороны MK и NP параллельны — MK || NP.