Question

3.13. Диагонали параллелограмма равны d иd,, а мень- шая сторона равна a. Найдите угол между его диагоналями.
Решите задачу при: 1) d = 10 см, d, = 12 см, а = 31 см;
2) d = 4 м, d, = 2 3 м, а = 1м.
​

Answer 1

Для решения данной задачи, нужно использовать свойства параллелограмма и тригонометрические формулы.

1) Пусть a, b - стороны параллелограмма, d - длина одной из диагоналей, а d' - длина другой диагонали. У нас дано, что d = 10 см, d' = 12 см, a = 31 см.

Так как диагонали в параллелограмме делятся пополам, то получаем, что половина диагонали равна десяти. То есть, полные диагонали равны 10 см * 2 = 20 см и 12 см * 2 = 24 см.

Так как диагонали параллелограмма являются его диагоналями, то они также являются его сторонами треугольника. Поэтому мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла между диагоналями:

cos(α) = (d^2 + d'^2 - a^2)/(2 * d * d')

Вставляем значения в формулу:

cos(α) = (20^2 + 24^2 - 31^2)/(2 * 20 * 24) = (400 + 576 - 961)/(480) = 15/48

Упрощаем дробь:

cos(α) = 5/16

Теперь, чтобы найти сам угол α, нужно найти арккосинус от полученного значения:

α = arccos(5/16)

Подставляем это в калькулятор и получаем значение около 65,68 градусов.

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма при данных условиях равен около 65,68 градусов.

2) Вторая задача аналогична первой, но с другими значениями. Здесь дано, что d = 4 м, d' = 2 м, a = 1 м.

Аналогично предыдущему решению, находим полные диагонали: 4 м * 2 = 8 м и 2 м * 2 = 4 м.

Затем, используя формулу закона косинусов, находим cos(α):

cos(α) = (8^2 + 4^2 - 1^2)/(2 * 8 * 4) = (64 + 16 - 1)/(64) = 79/64

Упрощаем дробь:

cos(α) = 79/64

Находим арккосинус:

α = arccos(79/64)

Подставляем значение в калькулятор и получаем около 35,18 градусов.

Значит, угол между диагоналями параллелограмма при данных условиях равен примерно 35,18 градусов.