Даны вершины треугольника A(1; 4); B(6; 5); C(4; -3).
Точка М = (B(6; 5) + C(4;-3)) / 2 = (4; 0,5).
Вектор АМ = М(4; 0,5) - A(-5; 1) = (9; -0,5).
Уравнение АМ: (x + 5) / 9 = (y - 1) / (-0,5) или в общем виде:
x + 18y - 13 = 0.
Высота BN перпендикулярна стороне АС.
Находим вектор АС = C(6; -3) - A(-5; 1) = (11; -4)
Уравнение АС: (x + 5) / 11 = (y - 1) / (-4) или в общем виде:
4x + 11y + 9 = 0.
Если к прямой Ax + By + C = 0 проведен перпендикуляр, то у него коэффициенты при переменных будут Bx - Ay.
Уравнение АС: 4x + 11y + 9 = 0.
Уравнение BN: 11x - 4y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки В, через которую проходит прямая BN.
11*2 - 4*4 + C = 0, отсюда С = 16 - 22 = -6.
Получаем уравнение BN: 11x - 4y - 6 = 0.
Находим угол:
Вектор АM Вектор ВN
х у х у
9 -0,5 11 -4
Модуль АM = 9,01387819 Модуль ВN = 11,7047
Угол между векторами
cos γ = 0,957303
γ = 0,293272 радиана
= 16,80328 градуса.
Объяснение:
Рисунок смотри на фото. Подробное объяснение здесь.
АМ=МВ (по условию, т.к. М середина гипотенузы)К - точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом ВС∠САВ = 5х + 8х = 13х (т.к. КА делит ∠САВ в отношении 5:8 меньший угол при гипотенузе (по условию) => ∠САК = 8х, ∠МАК = 5х)△АКВ равнобедренный, т.к. △АМК=△ВМК по двум катетам и прямому углу => гипотенузы этих треугольников равны, т.е. АК=КВтогда ∠СВА = ∠КАВ = 5х (как углы при основании равнобедренного треугольника)△АСВ: ∠СВА + ∠САВ = 90°5х + 13х = 90
18х = 90 |÷18
х = 5
Следовательно:
▪︎∠СВА = 5 × 5 = 25°
▪︎∠САВ = 5 × 13 = 65°