Впрямоугольном треугольнике abc катет ab=3 см, угол c = 15 градусов. на катете ac отмечена точка d так, что угол cbd = 15 градусов. а) найдите длину отрезка bd. б) докажите, что bc меньше 12 см
В Δ АВС угол АВС равен 90-15=75° ВΔ ВАД угол АВД равен 75-15=60 ВДА=90-60=30° АВ, как противолежащая углу 30, равна половине ВД. ВД=2*3=6 см Рассмотрим Δ ВДС. В нем равные углы при основании ВС. Поэтому Δ ВДС - равнобедренный. ДС=ВД=6 см. Сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
Сторона ВД+ДС=12см ВС < 12см Длина стороны ВС не может быть равна 12 см
Обозначим: - точку касания окружностью стороны АВ точкой К, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е. Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN. Отрезок АР = 8+((30-8)/2) = 8 + 11 = 19.
Решение основано на теореме касательной и секущей. Касательная АК=√(8*30)=√240 = 15.49193. Отрезок касательной КЕ (до оси окружности) равен АЕ-АК= 19 / cosA- 15.49193 = 19 / 0.968246 -15.49193 = 19.62312 - 15.4919 = 4.131182. Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А). Тангенс угла КОЕ равен: tg KOE = tg(A) = sin(A) / cos(A) = √(1-cos²(A)) / cos(A) = = √(1 - (15/16)) / (√15/4) = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 = 0.258199. Тогда R = 4.131182 / 0.258199 = 16.
В Δ АВС угол АВС равен
90-15=75°
ВΔ ВАД угол АВД равен
75-15=60
ВДА=90-60=30°
АВ, как противолежащая углу 30, равна половине ВД.
ВД=2*3=6 см
Рассмотрим Δ ВДС.
В нем равные углы при основании ВС.
Поэтому Δ ВДС - равнобедренный.
ДС=ВД=6 см.
Сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
Сторона ВД+ДС=12см
ВС < 12см
Длина стороны ВС не может быть равна 12 см