1)Косинус угла между векторами, зная их координаты вычисляется по формуле:
cos α = 
Здесь x1,x2, y1, y2 - координаты двух векторов.
Подставив в эту формулу координаты, получим:
cos α = (0 * 20 + 60) / √16 * √(20² + (-15)²) = 60 / 4 * √625 = 60 / 4 * 25 = 60/100 = 0.6
3)Доказать этот факт несложно. Достаточно соединить эти точки отрезками и доказать, что BA и BC будут перпендикулярными. Тогда мы докажем, что угол между векторами будет равен 90°, то есть они будут перпендикулярными. Теперь найдём каждую из этих сторон.(AB, BC,AC). Это можно сделать, воспользовавшись методом координат, используя извстную формулу, которую я здесь приводить не буду,(вы можете вполне сами найти её в интернете, а сразу проведу вычисления по ней, чтобы не загромождать место.
AB = √((2 - 0)² + (3 - 1)²) = √(4 + 4) = √8
BC = √((-1 - 2)² + (6 - 3)²) = √(9 + 9) = √18
AC = √(-1)² + (6 - 1)² = √(1 + 25) = √26
Теперь заметим, что (√26)² = (√18)² + (√8)², то есть сумма квадрата одной стороны равна сумме квадратов двух других сторон(это обратная теорема Пифагора), значит данный треугольник является прямоугольным, причём по длине сторон можно заключить, что AC - гипотенуза, тогда AB и BC - катеты, которые взаимно перпендикулярны. Итак. мы доказали, что между данными векторами прямой угол, значит они перпендикулярны между собой, что и требовалось доказать.
№1 Указать следствия аксиомы параллельных прямых.
а) Если отрезок или луч пересекает одну из параллельных прямых, то он пересекает и другую.
б) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.
в)^ Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
г) Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг другу.
д)^ Если две прямые не параллельны третьей прямой, то они не параллельны между собой.
е) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может пересекать другую.
ж)^ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они не могут быть не параллельны между собой.
ответ: б, в, е, ж.
№2 Почему, если одна из прямых, проходящих через точку, лежащую вне заданной прямой, параллельна этой прямой, то другие прямые, проходящие через эту точку, не могут быть ей параллельны? Указать неправильный ответ на этот вопрос.
а) ^ Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
б) Любая другая пряма,. если она также параллельна заданной, совпадает с первой.
в) Все другие прямые имеют точку пересечения с заданной прямой, хотя она может находиться на сколь угодно большом расстоянии от исходной точки.
ответ: в.
Если через точку, лежащую вне прямой. Проведено несколько прямых, то сколько из них пересекаются с исходной прямой?
а) ^ Неизвестно, так как не сказано, сколько прямых проведено через точку.
б) Все, кроме параллельной прямой.
в) Все, которые имеют на рисунке точку пересечения с исходной прямой.
ответ: б.
Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по признаку - это ромб.
Рассмотрим один из треугольников образовавшихся при пересечении этих диагоналей, он прямоугольный, его стороны равны 3 см и 4 см (6:2 и 8:2), найдем по теореме Пифагора третью сторону: 3² + 4² = третья сторона в квадрате, следовательно третья сторона равна 5.
Так как это ромб, то его стороны равны, тогда периметр будет равны: 5 + 5 + 5+5 =20 см или же 5*4 = 20 см
ответ: 20 см.