Question

Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной около него окружности равен 13 см. найдите боковую сторону треугольника

Answer 1

Возможно, так:

Проводим высоту к основанию. Т.к. треугольник равнобедренный, высота будет делить основание пополам. Боковая сторона равна х.

По т. Пифагора в любом маленьком треугольнике получаем:

h²+144=x²

h=√(x²-144)

Находим площадь трегуольника:

s=½*h*24=12 √(x²-144)

По формуле: $s=\frac{abc}{4R} = \frac{x^2*24}{4*13}=\frac{6x^2}{13}$

 Получем,что

$\frac{6x^2}{13} = 12\sqrt{x^2-144}$

$\frac{x^2}{13} = 2\sqrt{x^2-144}$

$x^2=26\sqrt{x^2-144}$

Возводим в квадрат:

х⁴=676х²-97344

 х⁴-676х²+97344=0

Решаем с переменной х².

Дискриминант: 676²-4*97344=456976-389376=260²

х²(1)=468, х(1)=6√13

 х²(2)=208, х(2)=4√13.

Теперь рассмотрим эти два варианта. Чтобы треугольник был остроугольный, квадрат наибольшей стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон. Однако при х= 4√13, сумма квадратов сторона равна: 208+208=416, а квадрат большей стороны: 24*24=576. Значит, такой треугольник будет тупоугольным, что не подходит под условие. Следовательно, х= 6√13