Question

PABC-правильный тетраэдр,AB=4.ТочкаK-середина ребра PB.Найдите расстояние от точкиK до плоскости APC.

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся тем, что середина отрезка является центром его отрезка. При этом, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нам понадобится знать нормальный вектор плоскости.

1. Сначала найдем координаты точек P, B, C и A. Возьмем точку A в начале координат, тогда координаты точек P, B и C будут следующими:
- P(4, 0, 0),
- B(4, Δy, 0),
- C(4, 0, Δz),
где Δy и Δz - какие-то числа, которые мы пока не знаем.

2. Теперь найдем координату точки K, которая является серединой ребра PB. Середина отрезка PB будет иметь координаты, равные полусумме соответствующих координат точек P и B:
- К(4, Δy/2, 0).

3. Построим вектор PC, используя координаты точек P и C:
- Вектор PC = (4, 0, Δz) - (4, 0, 0) = (0, 0, Δz).

4. Теперь найдем нормальный вектор плоскости APC, который можно получить посредством векторного произведения двух векторов: PC и PA.

5. Векторное произведение векторов PC и PA равно:
- PC × PA = (-Δz, 0, 0) × (4, 0, 0).

6. Вычислим это векторное произведение:
- (-Δz, 0, 0) × (4, 0, 0) = (0, 0, -4Δz).

7. Получили нормальный вектор плоскости APC, который равен (0, 0, -4Δz).

8. Координаты направляющего вектора KQ, где Q - точка на плоскости APC, будут равны разности координат точек K и Q, которые мы пока не знаем:
- Вектор KQ = (x, y, z) - К(4, Δy/2, 0).

9. Нормальный вектор плоскости APC и направляющий вектор KQ должны быть перпендикулярными друг другу. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:
- (0, 0, -4Δz) · (x, y, z - Δz/2) = 0,
- 0x + 0y - 4Δz(z - Δz/2) = 0,
- -4Δz(z - Δz/2) = 0.

10. Рассмотрим это уравнение. Поскольку у нас есть 3 неизвестных (x, y и z), а только одно уравнение, нам необходимо иметь еще одно уравнение, если мы хотим найти значения этих неизвестных.

11. Таким уравнением может быть уравнение прямой PK, которая лежит в плоскости APC. Выразим его через параметрические уравнения:
- x = 4,
- y = Δy/2 + t(0),
- z = 0 + t(-Δz/2),
где t - параметр.

12. Подставим эти значения в уравнение плоскости APC и получим:
- 0 - 4Δz(-Δz/2) = 0,
- 2Δz^2 = 0,
- Δz = 0.

13. Таким образом, мы узнали, что Δz = 0. Это значит, что все координаты точек P, B и C лежат в одной плоскости XY, поскольку Δz = 0 (это также означает, что плоскость APC параллельна оси Z).

14. Вернемся к уравнению, которое мы получили на шаге 9:
- -4Δz(z - Δz/2) = 0.

15. Подставим значение Δz = 0 и получим:
- -4(0)(z - 0/2) = 0,
- 0 = 0.

16. Мы видим, что уравнение выполняется для любого значения z. Это означает, что точка K может быть любой точкой на плоскости APC.

17. Следовательно, расстояние от точки K до плоскости APC равно нулю, потому что точка K уже находится в этой плоскости.

Ответ: Расстояние от точки K до плоскости APC равно нулю.