Прямая касается двух окружностей с центрами о и р в точках а и в соответственно. через точку с, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую ав в точке м. найдите рм, если ав = 8 и уголсом=а.
1. ВМ = МС и МА = МС (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. Дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).
Таким образом, МС = АВ/2.
2. РМ - биссектриса угла ВМС, и МО - биссектриса угла СМА. В сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов РМС и СМО равна 90 градусов. То есть треугольник РМО - прямоугольный.
3. Конечно, МС - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол РМС = угол СОМ = а.
4. Отсюда РМ = МС/cos(а) = AB/(2*cos(a));
5. Это всё :)
Между прочим, треугольник АВС тоже прямоугольный :))) не хотите доказать?
Это я так, для себя больше.
Тут есть который сразу напрашивается - угол ВСМ равен половине угла ВРС, а угол АСМ - половине угла АОС, и углы ВРС и АОС в сумме равны 180 градусов.
Правильное решение, но есть более простое :) как я уже упоминал ,точки А, В и С равноудалены от точки М, то есть если построить окружность на АВ, как на диаметре, то угол ВСА будет вписанным углом, на него опирающимся. Значит, он прямой.
Пусть этот треугольник будет АВС, где АВ и АС это катеты, а ВС - гипотенуза. Так как один угол в прямоугольном треугольнике равен 60, то другой 90-60=30 Значит, что данный треугольник - это половина равностороннего треугольника ДВС (у которого все стороны и углы равны) и меньший катет АС - это будет половина стороны ВС, так как больший катет АВ является одновременно и высотой и медианой равностороннего треугольника ДВС. Тогда пусть катет АС будет х, тогда гипотенуза ВС будет 2х, а их сумму мы знаем и составляем уравнение: х+2х=96 3х=96 х=32 см (это длина катета АС) тогда длина гипотенузы ВС будет 32*2=64 см
Окружность содержит 360 градусов. Сумма частей дуг, на которые разделили окружность точки С и D, равна 12. Градусная величина каждой части 360°:12=30° Меньшая дуга содержит 5*30°=150°. В треугольнике СDК угол C опирается на диаметр, на дугу в 180°, следовательно, этот угол равен половине от 180°, т.е. угол C=90°. Угол К опирается на дугу 150°, следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры этой дуги. Угол К=150°:2=75° Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Угол D=90°-75°=15°.
Эта задача проще, чем кажется.
1. ВМ = МС и МА = МС (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. Дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).
Таким образом, МС = АВ/2.
2. РМ - биссектриса угла ВМС, и МО - биссектриса угла СМА. В сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов РМС и СМО равна 90 градусов. То есть треугольник РМО - прямоугольный.
3. Конечно, МС - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол РМС = угол СОМ = а.
4. Отсюда РМ = МС/cos(а) = AB/(2*cos(a));
5. Это всё :)
Между прочим, треугольник АВС тоже прямоугольный :))) не хотите доказать?
Это я так, для себя больше.
Тут есть который сразу напрашивается - угол ВСМ равен половине угла ВРС, а угол АСМ - половине угла АОС, и углы ВРС и АОС в сумме равны 180 градусов.
Правильное решение, но есть более простое :) как я уже упоминал ,точки А, В и С равноудалены от точки М, то есть если построить окружность на АВ, как на диаметре, то угол ВСА будет вписанным углом, на него опирающимся. Значит, он прямой.