Вравнобедренном треугольнике боковая сторона равна10 см, а биссектриса, проведённая к основанию 8 см. найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой и делит основание треугольника пополам, и производит с основанием прямой угол.
Формула для вычисления радиуса описаной окуружности, где a и b стороны треугольника:
R=a^2/ корень с (2*a^2-b^2)
сторона b не известная. Узнаем её с формулы Пифагора.
Ну да, сложнейшая задача :((( Углы ODB и OFB прямые, поэтому можно построить окружность на OB, как на диаметре, и при этом точки D и F лежат на этой окружности. То есть четырехугольник ODFB - вписанный в окружность. Дальше, из прямоугольного треугольника AOB угол ABO = 90° - угол CAB; поэтому угол CBO = 90° - угол CAB - угол CBA; из прямоугольного треугольника ODB угол DOB = 90° - угол CBO; угол DOB = угол CAB + угол CBA; поскольку ODFB можно вписать в окружность, сумма углов DFB и DOB равна 180°; То есть угол DFB = 180° - (угол CAB + угол CBA) = угол ACB; чтд.
PS. для любителей точных и минимальных решений - с углами можно разобраться на много проще. Вот так: угол DOF = угол CBA, так как их стороны перпендикулярны (попарно). По той же причине угол FOB = угол CAB. То есть угол DOB = угол CAB + угол CBA;
PPS. угол DOF = угол CBA это так же сразу видно из того, что эти вписанные углы опираются на одну дугу DF построенной окружности. На самом деле и для второй пары углов тоже есть возможность доказать равенство угол FOB = угол CAB, через дуги построенной окружности - дело в том, что AO - касательная к этой окружности, и угол AOF измеряется половиной дуги OF, так же как и угол OBA, а каждый из этих углов дополняет угол из пары (угол FOB и угол CAB) до 90°. То есть угол OBA = угол AOF; а угол FOB = 90° - угол OBA; угол CAB = 90° - угол AOF; => угол FOB = угол CAB; Но это уже больше - для развлечения :)))
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой и делит основание треугольника пополам, и производит с основанием прямой угол.
Формула для вычисления радиуса описаной окуружности, где a и b стороны треугольника:
R=a^2/ корень с (2*a^2-b^2)
сторона b не известная. Узнаем её с формулы Пифагора.
b^2= 10^2-8^2=36
b=6
b=6*2=12 cм.
Подставляем в формулу:
R=10^2/V(20^2-12^2)=100/16=6.25 cм.
Радиус описаной окружности равен 6,25 см.