Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны.
Мысленно наложим треугольник ABC так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершина C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1 (рис. 83, б).
Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т. е. с точкой C1 (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны AC и BC совместятся соответственно со сторонами A1C1 и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны.
Мысленно наложим треугольник ABC так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершина C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1 (рис. 83, б).
Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т. е. с точкой C1 (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны AC и BC совместятся соответственно со сторонами A1C1 и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана.
1. Найдем отношение ВР к СР;
Через вершину В проводим прямую параллельную АС.
АР продлеваем за точку Р до пересечения с прямой в точке Е.
=> ВЕ параллельно AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны, следовательно:
ЕВ относится к АМ как ВК относится к КМ;
2) ВК/КМ=1, и ЕВ=АМ; ( треугольники равны).
Отсюда следует: ЕВ = АС/2;
Треугольники ЕВР и АСР подобны
=> ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
итак СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
S ACP= S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
т.к S треугольника ВАМ=1/2 S АВС,
а S АКМ=1/2 S АВМ, то
S AKM = S/4;
Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна
S KPCM = S ACP - S AKM = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;
ответ 12/5;