Движение - это преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между ее точками.
Свойства движения:
1. Три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой.
2. При движении прямая переходит в прямую - луч - в луч.
3. Отрезок движением переводится в отрезок.
4. Движение соханяет меры углов.
5. Последовательное выполнение двух движений есть движение.
Доказательство свойства 3. Как известно, отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Т.к. по свойству 2 прямая переходит в прямую, то прямая, содержащая отрезок, переходит в прямую, содержащую, отрезок. А так движение сохраняет расстояние, от отрезок одной прямой переходит в равный ему отрезок другой прямой.
СН - высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника АВС. В прямоугольном треугольнике ВСН (<H=90°) угол НСВ равен 90° - <B (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Точно так же в прямоугольном треугольнике АВС (<С=90°) угол САВ равен 90° - <B. Следовательно, прямоугольные треугольники САН и ВСН подобны по острому углу (первый признак), так как <CAH=<HCB=(90° - <B) (доказано выше). Кроме того, треугольники САН и НСВ подобны исходному треугольнику АВС по этому же острому углу.
Что и требовалось доказать.
Назовем прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырехугольника, его средней линией.
Рассмотрим геометрическое место точек D' таких, что прямая l, совпадающая с (EF) является средней линией четырехугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l' – образ прямой l при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (
). Так как l' || l, то для любой точки D'∈l' отрезки BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении. Так как у четырехугольников ABCD и ABCD' диагональ AС и средняя линия l — общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырехугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда (AD') || (BC), то есть, когда ABCD' — трапеция.