Рассмотрим основание призмы - треугольник ABC, в нем AB=5, AC=3,угол BAC=120°, тогда за теоремой косинусов находим третью сторону треугольника
(BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 - 2*AC*BC*cos(120°)
(BC)^2=25+9+15=49 => BC=7
Отсюда следует что сторона ВС в призме создает наибольшую площадь боковой грани, то есть
Sбок.гр=BC*H => H=35/7=5
Найдем площадь основания призмы
Sосн=AB*AC*sin(120°)/2 => Sосн=5*3*sqrt(3)/(2*2)=15sqrt(3)/4
Далее находим объем призмы
V=Sосн*H =15sqrt(3)/4 * 5=75sqrt(3)/4
Условие задачи неполное. Должно быть так:
Найдите объем прямой призмы АВСАВ₁С₁, если
∠АВ₁С = 60°, АВ₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.
Призма прямая, значит боковые грани - прямоугольники. Тогда
АВ⊥ВВ₁, СВ⊥ВВ₁, значит ∠АВС = 90° - линейный угол двугранного угла с ребром ВВ₁.
Из треугольника АВ₁С по теореме косинусов найдем АС:
АС² = AB₁² + CB₁² - 2·AB₁·CB₁·cos∠AB₁C
AC² = 9 + 4 - 2 · 3 · 2 · 1/2 = 13 - 6 = 7
AC = √7
Пусть АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.
По теореме Пифагора составим три уравнения:
ΔАВС: a² + b² = 7
ΔABB₁: a² + c² = 9
ΔCBB₁: b² + c² = 4
Получили систему из трех уравнений с тремя переменными. Сложим все три уравнения:
2(a² + b² + c²) = 20
a² + b² + c² = 10
Теперь из этого уравнения вычтем каждое. Получим:
с² = 3
b² = 1
a² = 6
Откуда:
с = √3, b = 1, a = √6.
V = Sabc · BB₁ = 1/2 · ab · c = 1/2 · √6 · 1 · √3 = 3√2/2
1. Медиана ВМ делит тр.АВС на два равновеликих треугольника, Sавм=Sсвм=0.5*Sавс
2. Медиана АК делит тр.АВМ на два равновеликих треугольника, следовательно Sамк=Sавк=0.25*Sавс=x
3. Дополнительное построение: Через точку М проведем МNIIKP.
4. Тр.МВN, КP средняя линия, след. Sквр=0.25*Sмвn=y, а Sмкрn=3y, а Smnc=2x-4y
5. Тр.АPC, MN средняя линия, след. Sмnc=0.25*Sapc=(1/3)*(Sарnm)=(1/3)*(x+3y)
6. Sмnc=2x-4y=(1/3)*(x+3y), решаем и получаем y=(1/3)*x, след. Smкрс=2x-y=(5/3)x
7. Sавк/Smкрс=х/(5/3)x=3/5