Объяснение:
Определение
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема 1
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Доказательство:
Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости .
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.
6. Правильные 4-, 5-, 10-, 20-, 25-, 50- угольники.
Объяснение:
Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,
n * (k + 1) = 100.
n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²
Всего разложений на два множителя с учетом порядка:
3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)
Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.
Можно получить этот же ответ в явном виде.
Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:
100 = 1 * 100 - n=1, k=99 - не подходит (n > 2)
100 = 2 * 50 - n=2, k=49 - не подходит (n > 2)
100 = 4 * 25 - n=4, k=24 - подходит
100 = 5 * 20 - n=5, k=19 - подходит
100 = 10 * 10 - n=10, k=9 - подходит
100 = 20 * 5 - n=20, k=4 - подходит
100 = 25 * 4 - n=25, k=3 - подходит
100 = 50 * 2 - n=50, k=1 - подходит
100 = 100 * 1 - n=100, k=0 - исходный 100-угольник