ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)
Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. АК=АЕ; DE=DH; FK=FH
Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.
а) Рассмотрим рисунок приложения. Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и секущей FD) Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.
АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х
Аналогично в ∆ КАЕ биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD подобны по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.
т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0. По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9; х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6
По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6
Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5
⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.
б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)
1. Прямая и окружность имеют одну общую точку, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
2. Если прямая СD проходит через конец радиуса ОК и СD ОК, то СD является касательной к данной окружности.
3. Угол АВС является вписанным, если точка В лежит на окружности, а лучи ВА и ВС пересекают окружность.
4. Вписанные углы равны, если они опираются на одну дугу.
6. Если отрезки АВ и АС – отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, то AB = AC.
7. Если четырехугольник описан около окружности, то cуммы его противоположных сторон равны.
8. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
9. Если точка С равноудалена от концов данного отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
10. Если точка D лежит на биссектрисе данного угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
11. В любой треугольник можно вписать окружность.
12. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
13. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4 см. Радиус описанной окружности равен 2,5 см.
14. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. ∟А = 80о, ∟В = 110о. ∟С= 100°, ∟D= 70°.
15. Периметр четырехугольника равен 12 см, а радиус вписанной окружности – 7 см. Площадь данного четырехугольника равна 42 см².
Объяснение:
Фото ...