В тр-ке АIС1имеем AI=C1I, значит он равнобедренный и угол IC1A=углу С1AI; в нем же АВ - медиана, перпендикулярная стороне C1I, значит тр-к С1АI - тоже равнобедренный (углы IC1A=AIC1). Итак, в тр-ке АIC1 все углы равны по 60.
В тр-ке АВС АI - биссектриса, так как центр I вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Значит угол ВАI = IAC и угол ВАС = 60. В тр-ке АВС по теореме синусов 2R=BC/SinA, то есть R = a/2Sin60 = a/(2*√3/2) = a/√3;
Указать, какие из перечисленных утверждений верны.
1.
2) Медиана проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
2.
1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, равные углы.
2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
5) Высота может лежать и вне треугольника.
3.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника - центр окружности, вписанной в этот треугольник.
4.
1) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Точка пересечения биссектрис всегда лежит внутри треугольника.
4) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
О - центр окружности - точнее, обеих окружностей, заданных в задаче (ясно, что точки А1 В1 С1 равноудалены от центра вписанной окружности, то есть окружность, вписанная в АВС и окружность, описанная вокруг А1В1С1 - и проходящая через А - имеют общий центр).
В треугольнике АС1О стороны ОС1 и ОА равны, и - кроме того, медиана АВ перпендикулярна стороне ОС1. То есть АС1О - равносторонний треугольник.
Аналогично и АВ1О - равносторонний треугольник, но уже и без того ясно, что угол ВАО = 30 градусам, а угол САВ = 60 градусам.
Отсюда по теореме синусов 2Rsin(60°) = a; R = a/√3;