Question

В ромбе высота, которая проведена из вершины тупого угла, делит сторону напополам. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ равна 4√3см

Answer 1

S=8√3см²

Объяснение:

Обозначим вершины ромба АВСД, с диагоналями АС и ВД а высоту АН. Рассмотрим ∆АСД. Высота АН делит СД пополам, поэтому она является ещё медианой, следовательно ∆АСД - равнобедренный, поэтому АД=АС, а так как стороны ромба равны, то

АД=СД=АС=АВ=ВС, значит ∆АСД=∆АВС и они являются равносторонними, у которых каждый угол составляет 60°. Так как диагонали ромба, пересекаясь, образуют прямой угол и делятся пополам, то они также образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: ∆АВО. В нём: ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Найдём сторону АВ через синус угла. Синус угла - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, тогда

$\\ ab = \frac{bo}{ \sin(60) } = 2 \sqrt{3} \div \frac{ \sqrt{3} }{2} = \\ = 2 \sqrt{3} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 4$

Итак: все стороны ромба и диагональ АС=4см. Поскольку нам уже известна меньшая диагональ найдём площадь ромба по формуле:

$\\ s = \frac{1}{2} \times ac \times bd = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 4 = \\ = \frac{16 \sqrt{3} }{2} = 8 \sqrt{3}$

Можно использовать второй вариант, чтобы найти площадь через высоту АН, проведённую к стороне ромба.

Эта высота АН в ∆АСД равна высоте ВО в ∆АВС=2√3 (так как ∆АВС=∆АСД, и они равносторонние, то их высоты равны).

Тогда S=АД×АН=4×2√3=8√3см²