1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.
∠CAK =∪AC/2 =∠B
△ABC, теорема косинусов
cosB = (AB^2 +CB^2 -CA^2)/2AB*CB = (25+64-49)/2*5*8 =1/2
sinCAK =sinB =√(1-cosB^2) =√3/2
(синус угла треугольника положительный)
CK =AC*sinCAK =7√3/2
Или
△ABC, формула Герона
p =(5+8+7)/2 =10
S =√(10*5*2*3) =10√3
S =1/2 BC*AH => AH=5√3/2
△CAK~△ABH => CK/AH =AC/AB =7/5 => CK=7√3/2