Пусть К - середина А₁В₁, Т - середина D₁C₁.
КВ₁С₁Т - прямоугольник (КВ₁║С₁Т, КВ₁ = С₁Т как половины равных ребер), значит КТ║В₁С₁.
Параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым. Сечение проходит через вершину В и пересекает плоскость АВС, значит линия пересечения должна быть параллельна КТ. Это прямая ВС.
ВКТС - искомое сечение.
Пусть ребро куба а. Тогда КС₁ = а/2.
Из прямоугольного треугольника КСС₁ по теореме Пифагора:
КС = √(СС₁² + КС₁²) = √(а² + а²/4) = √(5а²/4) = а√5/2
Sbktc = BC · KC = a · a√5/2 = a²√5/2
Sbktc = 9√5/2 по условию,
а²√5/2 = 9√5/2
а = 3.
Vкуба = а³ = 3³ = 27 ед. куб.
в прямоугольном треугольнике угол между катетами равен 90 град. значит сумма двух углов прилегающие к гипотенузе ровна 90 гград., но один из них 45, значит второй тоже 45 град. Если углы равны значит данный треугольник равнобедренный т.е. оба катета (обозначим а) между собой равны.
по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов следует (3 корень из 2) в квадрате = а в квадрате + а в квадрате;
3*3*2=2*а*а;
9=а в квадрате;
а=3.
Площадь прямоугольного треугольника ровна произведению двух катетов деленное на 2 (половина прямоугольника) далее 3*3/2=4,5 кв.см.
площадь этого треугольника = 4,5 кв.см.