Question

Решить, ! в правильной четырёхугольной призме abcda1b1c1d1 сторона основания равна 28, а боковое ребро аа1 равно 3. точка q принадлежит ребру c1d1 и делит его в отношении 3: 4, считая от вершины с1. найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, проходящей через точки а, с, q

Answer 1

На ребре А1D1 необходимо отметить точку Р так чтобы она делила ребро в отношении 3:4 начиная от вершины А1 (Рисунок во вложении). Тогда площадью сечения будет равнобедренная трапеция APQC с основаниями AС и PQ. Найдем основания:

$AC^2=AD^2+DC^2=28^2+28^2=2\cdot28^2\\ PQ=28\sqrt{2}$

Так как точка Q делит D1C1 в отношении 3:4, начиная от вершины С1 и D1C1=28, то C1Q=12 а QD1=16. Аналогично D1P=16. Найдем PQ

[$PQ^2=PD_1^2+D_1Q^2=16^2+16^2=2\cdot16^2\\ PQ=16\sqrt{2}\\$

 Из прямоугольного треугольника CC1Q найдем CQ

$CQ^2=12^2+3^2=144+9=156\\ CQ=\sqrt{153}$ 

 В трапеции опустим высоту QH и найдем ее из прямоугольного треугольника QHD. HD это проекция боковой стороны на большее основание и равно полуразности оснований$HD= \frac{28\sqrt{2}-16\sqrt{2}}{2}= \frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$

$HQ^2=QD^2-HD^2=153-72=81\\ HQ=9$

Площадь трапеции равно произведению полусуммы оснований на высоту

$S=\frac{PQ+AD}{2}\cdot QH\\ S=\frac{16\sqrt{2}+28\sqrt{2}}{2}\cdot 9= \frac{44\sqrt{2}}{2}\cdot9=22\sqrt{2}\cdot9=198\sqrt{2}$.

ответ $198\sqrt{2}$