Обозначим равные катеты прямоугольного треугольника - а.
АК и ВМ - медианы. Медианы, проведенные к равным сторонам, равны. АК = ВМ.
Из прямоугольного треугольника САК по теореме Пифагора найдем медиану АК:
АК = √(АС² + СК²) = √(а² + (a/2)²) = √(a² + a²/4) = √(5a²/4) = a√5/2
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда
OK = ОМ = 1/3 AK = a√5/6
AO = ВО = 2·OK = a√5/3
Из треугольника ОКВ по теореме косинусов:
KB² = KO² + OB² - 2·KO·OB·cosα
a²/4 = (a√5/6)² + (a√5/3)² - 2 · a√5/6 · a√5/3 · cosα
a²/4 = 5a²/36 + 5a²/9 - 2 · 5a²/18 · cosα
1/4 = 5/36 + 5/9 - 5/9 · cosα
cosα = (25/36 - 1/4) : (5/9) = 16/36 · 9/5 = 4/9 · 9/5 = 4/5 = 0,8
По таблице Брадиса находим, что
α ≈ 37°
Вспомним что такое равнобедренный треугольник и высота. Равнобедренный треугольник у которого боковые стороны равны и углы при основании равны.
Высота - перпендикуляр проведённый из вершины к противоположной стороне. И он образует прямой угол.
Приступим к задаче:
Пусть треугольник ABC. AC-основание.
т.к. треугольник равнобедренный, то AB=10 и BC=10 (AB и BC боковые стороны)
Высота BH образует два прямоугольных треугольника ABH и BCH.
Можно из треугольника ABH найти AH, по теореме пифагора.
AB^2=BH^2+AH^2 выражаем AH^2
AH^2=AB^2-BH^2=100-64=36
AH=6
таким же образом находим HC в треугольнике HBC.
т.к. треугольник равнобедренный то HC то же будет равно 6
AC=HC+AH=6+6=12
ОТвет: AC=12