Втреугольнике авс биссектрисы внутренних углов в и с пересекаются в точке о. через эту точку проведена - id170569020230418 от тата282 18.04.2023 11:29

Question

Геометрия: Втреугольнике авс биссектрисы внутренних углов в и с пересекаются в точке о. через эту точку проведена прямая оd параллельно ас до пересечения с вс в точке d и прямая ое параллельно ав до пересечения с вс в точке е. докажите, что периметр треугольника оеd равен длине стороны вс.

тата282 · Accepted Answer

a=BC, b=AC, c=AB Пусть биссектриса BD=x, а ∠ADB=α
по теореме косинусов a²=b²+c²-2bccosA cosA=(b²+c²-a²)/2bc=804/924=67/77
sin²A=1-cos²A=1440/77²=36*40/77² sinA=4*√40/77
b²=a²+c²-2accosB cosB=(a²+c²-b²)/2ac=164/484=41/121 cosB=cos2*(B/2)
=cos²B/2-sin²B/2=1-2sin²(B/2) sin²B/2=(1-cosB)/2=40/121 sin(B/2)=√40/11
по теореме синусов:
BD/sinA=c/sinα=AD/sin(B/2)
BD/sinC=a/sin(180-α)=DC/sinB/2
берем вторые равенства и складываем sin(180-α)=sinα
(с+a)/sinα=(AD+DC)/sin(B/2)=b/sin(B/2)
sinα=(c+a)*sin(B/2)/b=33*√40/11*21=√40/7
по теореме синусов
с/sinα=BD/sinA
BD=c*sinA/sinα=22*4*√40*7/(77*√40)=8

MOGZ ответил