Следует отметить, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Кроме того, так как AD диаметр, то угол ABD =90(опирается на диаметр)
Проведем ВЕ и CF перпенд. AD, тогда AE=FD
Средняя линия=14, значит AD+BC=28
Пусть ВС=х. тогда AE=(28-x-x):2=14-x
AB^2=AE*AD( свойство перпендикуляра опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу)
16*2=(14-х)(28-х)
x^2-42х+360=0
D=324
x1=30 не походит
x2=12
AD=28-12=16
AD диаметр, значит радиус 8
Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника ОРЕ и ОЕD; РО - половина средней линии m = 14; OD = R - радиус окружности, ED = CD/2 = b/2, где b = 4*корень(2) - боковая сторона.
EP/OE = OE/OD; OD*EP = OE^2 = OD^2 - ED^2;
R^2 - R*m/2 - (b/2)^2= 0;
R^2 - R*7 - 8 = 0; R = 8 (второй корень -1 отброшен)