1. на первом рисунке представлена трапеция, которую надо построить, там все обозначения. Легко видеть из подобия треугольников, что
x/b = (x + c)/a; x = c*b/(a - b); и аналогично y = d*b/(a - b);
Порядок построения такой. Сначала по заданным отрезкам a, b, c, d строим отрезки x и y. Это делается так - на каком-то луче откладываются отрезки a, а потом от конца его обратно - b (так, чтобы получиля отрезок a - b). Проводится произвольный луч из начала а (точка О) и на нем откладывается отрезок с. Конец этого отрезка соединяется с концом отрезка a - b, а затем через конец отрезка а проводится прямая II этой линии. Так строится отрезок x, аналогично строится y по d.
Теперь строится треугольник со стронами x, y, b. Стороны x и y продолжаются за основание на c и d, концы соединяются. Трапеция построена. Все эти построения можно сделать циркулем и линейкой.
2. Этот случай проще - строим треугольник со сторонами m, c, (a - b) (m - заданная диагональ). Из вершины, общей для m и (a - b), проводим прямую, II c, а из вершины, общей для m и с - прямую, II (a - b) (напомню - отрезок (a - b) задан в условии). Точка пересечения этих прямых - это вершина основания b трапеции. Осталось только продлить (a - b) за вершину треугольника, общую со стороной c, и из вершины треугольника, общей для m и c, провести окружность радиусом d до пересечения с продолжением (а - b). Трапеция построена.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная. <CAD=<BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и CD и секущей АС. Значит и <ВАС=30° (АС - биссектриса) и треугольник АВС равнобедренный. Тогда его высота ВН - это и медиана. Значит ВН - это часть радиуса ВО, так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Угол АВС этого треугольника равен 120°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АDC. Значит градусная мера дуги АDC в два раза больше и равна 240°. Тогда градусная мера дуги АВС равна АВС=360°-240°=120°. На эту дугу опирается центральный угол АОС, соответственно равный 120°. Итак, мы имеем четырехугольник АВСО, являющийся ромбом, и точка О лежит на стороне АD нашей трапеции. Следоательно АВ=ВС=АО=ОD=ОС=СD=R=4см. Проведем высоту трапеции СК. В равностороннем треугольнике ОСD высота СК равна (√3/2)*а, где а=4см. СК=2√3см. Площадь трапеции S=(BC+AD)*CК/2=12√3см². ответ: S=12√3см².
Задача в одно действие. Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M; Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM; На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M. Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM; То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA; Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.
1. на первом рисунке представлена трапеция, которую надо построить, там все обозначения. Легко видеть из подобия треугольников, что
x/b = (x + c)/a; x = c*b/(a - b); и аналогично y = d*b/(a - b);
Порядок построения такой. Сначала по заданным отрезкам a, b, c, d строим отрезки x и y. Это делается так - на каком-то луче откладываются отрезки a, а потом от конца его обратно - b (так, чтобы получиля отрезок a - b). Проводится произвольный луч из начала а (точка О) и на нем откладывается отрезок с. Конец этого отрезка соединяется с концом отрезка a - b, а затем через конец отрезка а проводится прямая II этой линии. Так строится отрезок x, аналогично строится y по d.
Теперь строится треугольник со стронами x, y, b. Стороны x и y продолжаются за основание на c и d, концы соединяются. Трапеция построена. Все эти построения можно сделать циркулем и линейкой.
2. Этот случай проще - строим треугольник со сторонами m, c, (a - b) (m - заданная диагональ). Из вершины, общей для m и (a - b), проводим прямую, II c, а из вершины, общей для m и с - прямую, II (a - b) (напомню - отрезок (a - b) задан в условии). Точка пересечения этих прямых - это вершина основания b трапеции. Осталось только продлить (a - b) за вершину треугольника, общую со стороной c, и из вершины треугольника, общей для m и c, провести окружность радиусом d до пересечения с продолжением (а - b). Трапеция построена.