Sabc = 384 см².
Объяснение:
Так как точка S равноудалена от вершин треугольника АВС, она проецируется в центр описанной окружности этого треугольника - точку О. А так как треугольник АВС прямоугольный, то этот центр находится на середине гипотенузы АВ. Точка J по этой же причине находится на отрезке SO, перпендикулярном плоскости АВС. АО = ВО = СО как радиусы описанной окружности.
JO = SO - SJ = 40 - 25 = 15 см. Тогда в треугольнике CJO по Пифагору
СО = √(CJ²-JO²) = √(25²-15²) = 20 cм. АВ = 2·СО = 40 см.
Это гипотенуза. Второй катет равен по Пифагору:
АС = √(АВ²-ВС²) = √(40²-24²) = 32 см.
Площадь треугольника АВС равна
Sabc = (1/2)·АС·ВС = (1/2)·32·24 = 384 см².
Расстояние от вершины прямого угла до плоскости Р равно a*sin(альфа) и оно же равно b*sin(бета). a и b - катеты треугольника, с - гипотенуза. Поэтому a*sin(альфа) = b*sin(бета).
b = a*sin(бета)/sin(альфа); c = а*корень(1 + (sin(бета)/sin(альфа))^2);
высота треугольника равна
h = a*b/c = a*sin(альфа)/корень((sin(альфа))^2 + (sin(бета))^2);
Отношение расстояния от вершины прямого угла до плоскости Р к этой высоте равно синусу искомого угла между плоскостью Р и плоскостью треугольника. (То, что высота и её проекция на Р являются сторонами линейного угла, следует из того, что гипотенуза препендикулярна плоскости этих двух прямый - высоте по построению, а проекции - поскольку в их плососи есть еще одна прямая, пепендикулярная гипоенузе - это перпендикуляр из вершины пямого угла на Р)
Осталось все собрать.
sin(Ф) = корень((sin(альфа))^2 + (sin(бета))^2);
Легко видеть, что если плоскость треугольника перпендикулярна плоскости Р, то альфа и бета - углы треугольника, и sin(Ф) = 1.