1) Сначала найдем проекции трапеции на большее основание.Они соответственно равны √ (30² - 24²) = √ 324 = 18 см и
√ (26² - 24²) = √ 100 = 10 см.
Сумма проекций диагоналей на основание равна сумме оснований (меньшее основание учитывается дважды, а дополнительные отрезки по одному разу). Следовательно S = (18 + 10) * 24 / 2 = 336 см²
2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле S = d₁ * d₂* sin α / 2,
где α - угол между диагоналями параллелограмма.
В данном случае S = d₁ * d₂ * sin 60°/ 2 = d₁ * d₂ * √ 3 / 4
Применим теорему косинусов для выражения сторон параллелограмма через диагонали
(d₁/2)² + (d₂/2)² - 2 * (d₁/2) * (d₂/2) * cos 60° = (d₁² + d₂² - d₁ * d₂)/4 = 4² = 16
(d₁/2)² + (d₂/2)² - 2 * (d₁/2) * (d₂/2) * cos 120° = (d₁² + d₂² + d₁ * d₂)/4 = 6² = 36
Получаем систему
d₁² + d₂² - d₁ * d₂ = 64
d₁² + d₂² + d₁ * d₂ = 144
Отняв от второго уравнения первое и разделив на 2, получаем d₁ * d₂ = 40
Следовательно S = 40 * √ 3 / 4 = 10 * √ 3 см²
Высота, опущенная на основание, находится по теореме Пифагора:
h^2 = 10^2 - (16/2)^2 = 36, h = 6
Площадь равна:
S = 16*6/2 = 48 cm^2
Найдем полупериметр:
р = (16+10+10)/2 = 18 см.
Воспользуемся формулами площади через радиусы вписанной и описанной окружности:
S = pr, r = S/p = 48/18 = 8/3 cm
S = abc/(4R), R = abc/(4S) = 16*10*10/(4*48) = 25/3 cm
Центры окружностей находятся на высоте, опущенной на гипотенузу.
Центр описанной окружности находится от основания высоты на расстоянии:
кор(R^2 - 8^2) = кор( 625/9 - 64) = кор(49/9) = 7/3.
Центр вписанной окружности находится на расстоянии r= 8/3 см от основания высоты.
Тогда расстояние между центрами: 8/3 - 7/3 = 1/3.
ответ: r= 8/3 см; R = 25/3 см; 1/3 см.