Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, в случае правильной четырехугольной призмы - основанием призмы является квадрат. Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед. Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁ Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. ) Решение. АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости). Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁ Тогда АВ, сторона основания, противолежащая углу 30º, равна половине АС₁ АВ=ВС=СД=ДА=2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒ h²=16-8=8 h=√8=2√2 Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту. Р=4*2=8 см Ѕ бок=8*2√2=16√2 см² -------------. Высоту призмы можно найти иначе. а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3 Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁ h² =(2 √3)²+2²=12-4=8 h=2√2 ------- б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁ диагональ ВС₁ боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁ высоту призмы СС₁.
