Question

Шестиугольная и треугольная правильные призмы имеют равные высоты и равные площади боковых поверхностей. разность площадей их полных поверхностей равна 4√3см.вычислить стороны их оснований

Answer 1

Так как площадь боковой повехности призмы вычисляется по формуле:

$S=P*h$, где Р-периметр основания а h-высота призмы

Так как площади боковых поверхностей равны, и равны высоты получаем равенство периметров оснований данных призм:

$P_1=P_2$

$6t=3a$

$a=2t$, где а-сторона трехгранной призмы, а t-сторона шестигранной призмы

Площадь полной поверхности призмы численно равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$S_p=2S_o+S_b$

Так как известно что разность полных площадей равна $4\sqrt3$ получаем:

$S_{p_{1}}-S_{p_{2}}=2S_{o_{1}}+S_{b_{1}}-2S_{o_{2}}-S_{b_{2}}=2S_{o_{1}}-2S_{o_2}}=4\sqrt3$

$S_{o_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}t^2$-площадь основания шестигранной призмы

$S_{o_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$- площадь основания трехгранной призмы

Получаем:

$2\frac{3\sqrt{3}}{2}t^2-2\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt3$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}t^2-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt3$

$6t^2-a^2=8$

$a=2t$

$6t^2-4t^2=8$

$t^2=4$

$t=2;t=-2$t=-2 не подоходит ввиду невозможности отрицательной длины

$a=2t=4$

ответ: $a=4$ - сторона основания трехгранной призмы

$t=2$ - сторона основания шестигранной призмы