Sсеч = 6√2 дм.
Объяснение:
У правильной четырехугольной призмы основания (нижнее и верхнее) - квадраты, боковые грани (их четыре) - равные прямоугольники со сторонами, равными стороне основания и высоте призмы.
Площадь боковой поверхности призмы - Sбок = 4·a·h = 16 дм² (дано). Значит a·h = 16/4 = 4 дм². (1)
Диагональ основания (квадрата) равна по Пифагору:
D = √(2·а²) = 4√2 дм.
Значит сторона основания а = 4√2/√2 = 4 дм. (2)
Тогда из (1) и (2) высота призмы равна h = 4/4 = 1 дм.
Сечение призмы, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину - это равнобедренный треугольник с основанием - диагональю основания призмы и боковыми сторонами - диагоналями боковых граней.
Найдем диагональ боковой грани по Пифагору: d = √(a²+h²).
d = √(4²+1²) = √17 дм.
Найдем высоту равнобедренного треугольника по Пифагору:
Н = √(d²- D²/4) = √(17 - 8) = 3 дм.
Тогда площадь сечения равна:
Sсеч = (1/2)·D·H = (1/2)·4√2·3 = 6√2 дм.
Треугольник DMC - равнобедренный, тогда углы MDC и MCD равны, но СD - биссектриса, значит углы ВСD и DCM также равны, т.е. углы MDC и BCD равны, значит медиана DM параллельна стороне ВС, т.к. равны накрест лежащие углы при секущей DС, тогда углы ADM и АВС равны как соответственные углы при параллельных прямых, тогда треугольники ADM и АВС подобны по 2 углам, значит AD/DM=AB/BC, но АВ=ВС, т.к. исходный треугольник равнобедренный, т.е. AD/DM=1, значит AD=DM=1.
Интересная задачка напряг извилины.