1) Для нахождения косинуса угла А в треугольнике АВС, нам необходимо применить теорему косинусов. Эта теорема гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус их внутреннего угла. Формула выглядит следующим образом:
АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2 * АВ * ВС * cos(A)
Подставим значения из условия:
3^2 = 4^2 + (√13)^2 - 2 * 4 * √13 * cos(A)
9 = 16 + 13 - 8√13 * cos(A)
Подтвердим, что √13 это 13 в степени 1/2:
9 = 16 + 13 - 8(√13)^1/2 * cos(A)
9 = 29 - 8(√13)^1/2 * cos(A)
Перенесем 8(√13)^1/2 * cos(A) влево:
8(√13)^1/2 * cos(A) = 29 - 9
Далее упростим:
8(√13)^1/2 * cos(A) = 20
Разделим обе части на 8(√13)^1/2:
cos(A) = 20 / (8(√13)^1/2)
Сократим:
cos(A) = 5 / (2√13)^1/2
Упростим:
cos(A) = 5 / 2√13
Ответ: косинус угла А равен 5 / 2√13.
2) Чтобы найти длину медианы СМ, мы можем воспользоваться свойством медианы, согласно которому медиана разбивает сторону пополам, а также формулой длины медианы:
СМ = √((2АС^2 + 2ВС^2 - АВ^2) / 4)
Подставим данные из условия:
СМ = √((2 * 3^2 + 2 * (√13)^2 - 4^2) / 4)
СМ = √((2 * 9 + 2 * 13 - 16) / 4)
СМ = √((18 + 26 - 16) / 4)
СМ = √(28 / 4)
СМ = √7
Ответ: длина медианы СМ равна √7.
3) Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем воспользоваться формулой Герона:
S = √(p * (p - АВ) * (p - ВС) * (p - АС))
где p - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех трех сторон и разделив полученную сумму на 2:
p = (АВ + ВС + АС) / 2
Подставим данные из условия:
p = (4 + √13 + 3) / 2
p = (7 + √13) / 2
Теперь подставим значения полупериметра и сторон в формулу Герона:
АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2 * АВ * ВС * cos(A)
Подставим значения из условия:
3^2 = 4^2 + (√13)^2 - 2 * 4 * √13 * cos(A)
9 = 16 + 13 - 8√13 * cos(A)
Подтвердим, что √13 это 13 в степени 1/2:
9 = 16 + 13 - 8(√13)^1/2 * cos(A)
9 = 29 - 8(√13)^1/2 * cos(A)
Перенесем 8(√13)^1/2 * cos(A) влево:
8(√13)^1/2 * cos(A) = 29 - 9
Далее упростим:
8(√13)^1/2 * cos(A) = 20
Разделим обе части на 8(√13)^1/2:
cos(A) = 20 / (8(√13)^1/2)
Сократим:
cos(A) = 5 / (2√13)^1/2
Упростим:
cos(A) = 5 / 2√13
Ответ: косинус угла А равен 5 / 2√13.
2) Чтобы найти длину медианы СМ, мы можем воспользоваться свойством медианы, согласно которому медиана разбивает сторону пополам, а также формулой длины медианы:
СМ = √((2АС^2 + 2ВС^2 - АВ^2) / 4)
Подставим данные из условия:
СМ = √((2 * 3^2 + 2 * (√13)^2 - 4^2) / 4)
СМ = √((2 * 9 + 2 * 13 - 16) / 4)
СМ = √((18 + 26 - 16) / 4)
СМ = √(28 / 4)
СМ = √7
Ответ: длина медианы СМ равна √7.
3) Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем воспользоваться формулой Герона:
S = √(p * (p - АВ) * (p - ВС) * (p - АС))
где p - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех трех сторон и разделив полученную сумму на 2:
p = (АВ + ВС + АС) / 2
Подставим данные из условия:
p = (4 + √13 + 3) / 2
p = (7 + √13) / 2
Теперь подставим значения полупериметра и сторон в формулу Герона:
S = √(((7 + √13) / 2) * (((7 + √13) / 2) - 4) * (((7 + √13) / 2) - √13) * (((7 + √13) / 2) - 3))
S = √(((7 + √13) / 2) * (((3 + √13) / 2) * (((7 + √13) / 2) - √13) * (((7 + √13) / 2) - 3))
S = √(((7 + √13) / 2) * (((3 + √13) / 2) * (((7 + √13) / 2) - √13) * (1 / 2)))
S = √(((7 + √13) / 2) * (((3 + √13) / 2) * (7 / 2)))
S = √(((7 + √13) / 2) * ((21 + 3√13) / 4))
S = √((7√13 + 7√13 + 13 + 3√13 * √13) / 8)
S = √((26 + 10√13) / 8)
S = √(26 + 10√13) / 2√2
Ответ: площадь треугольника АВС равна √(26 + 10√13) / 2√2.